השערת ברטראן
השערת ברטראן הוא היא משפט שניסח לראשונה המתמטיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן בשנת 1845, בצורת השערה. לפי טענה זו, לכל מספר טבעי n הגדול מ-3, קיים לפחות מספר ראשוני אחד בקטע .
ברטראן העלה השערה זו לראשונה ב-1845, ואף וידא את תקפותה לכל n טבעי קטן מ-3 מיליון. למעשה השם "השערה" אינו מתאר נכונה טענה זו, שכן בשנת 1850 הציג המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב הוכחה מלאה לטענה, ועל כן היא בגדר משפט. לפיכך, היא נקראת לעיתים "משפט ברטראן-צ'בישב" או "משפט צ'בישב". המתמטיקאי ההודי סריניוואסה רמנוג'אן הציג בשנת 1919[1] הוכחה פשוטה יותר למשפט, הנעזרת בתכונות של פונקציית גמא, ופאול ארדש הציג בשנת 1932 הוכחה פשוטה מזו [2], הנעזרת בפונקציית צ'בישב[3] ובמקדמים בינומיים.
נימוק היוריסטי
ממשפט המספרים הראשוניים נובעת טענה חזקה בהרבה: לכל , אם n גדול מספיק אז יש ראשוניים בקטע . הסיבה לכך היא שלפי המשפט, מספר המספרים הראשוניים הקטנים או שווים ל-x הוא בקירוב . (הפונקציה ln x מסמלת את הלוגריתם הטבעי. הפונקציה מסמלת את פונקציית ספירת הראשוניים הקטנים או שווים ל-x.
המשפט מאפשר לחשב בקירוב את מספר הראשוניים בקטע. נקבל: .
כאשר n שואף לאינסוף, ההפרש -- שהוא מספר הראשוניים בקטע -- שואף לאינסוף.
קישורים חיצוניים
- השערת ברטראן, באתר MathWorld (באנגלית) המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.
הערות שוליים
36170039השערת ברטראן