משפט ארטין-שרייר (הרחבות ציקליות)

בתורת השדות, משפט ארטין שרייר נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך שחבורת גלואה של הרחבה סופית מעל שדה ממציין $ p $ תהיה ציקלית מסדר $ p $. בכך הוא מצטרף למשפט קומר שעושה זאת על הרחבות מסדר זר למציין השדה.

המשפט

תהי $ L/K $ הרחבת שדות לא טריוויאלית, כאשר $ \operatorname {char} K=p $. אז היא גלואה וחבורת גלואה שלה מעגלית מסדר $ p $ אם ורק אם $ L=K(\alpha ) $ עבור $ \alpha \in L\setminus K $ המקיים $ \alpha ^{p}-\alpha \in K $.

הוכחה

כיוון אחד: נניח $ G=\operatorname {Gal} (L/K) $ מעגלית מסדר $ p $. יהי $ \sigma $ יוצר שלה. אז

$ \operatorname {Tr} (-1)=-1+\sigma (-1)...+\sigma ^{p-1}(-1)=p\cdot (-1)=0 $

ולכן ממשפט 90 של הילברט, יש $ \alpha \in L $ כך ש-$ \alpha -\sigma (\alpha )=-1 $. מכאן $ \sigma (\alpha )=\alpha +1 $ ומכאן $ \sigma ^{j}(\alpha )=\alpha +j $. אז $ \alpha \notin K $ כי $ \sigma (\alpha )\neq \alpha $, וכיוון ש-$ [K(\alpha ):K]=p $ אז $ [K(\alpha ):K]|p $ ולכן

$ p=|G|=[L:K]=[L:K(\alpha )]\cdot [K(\alpha ):K]=[L:K(\alpha )]\cdot p $

ובסך הכל $ [L:K(\alpha )]=1 $ ולכן $ L=K(\alpha ) $. כמו כן לכל $ j\in \mathbb {F} _{p}\subseteq K $ מתקיים

$ \sigma ^{j}(\alpha ^{p}-\alpha )=\sigma ^{j}(\alpha )^{p}-\sigma ^{j}(\alpha )=(\alpha +j)^{p}-\alpha +j=\alpha ^{p}-\alpha $

ולכן $ \alpha ^{p}-\alpha $ נמצא בשדה השבת $ L^{G}=K $, כלומר: $ \alpha ^{p}-\alpha \in K $.

כיוון שני: נניח $ L=K(\alpha ) $. נסמן $ f=x^{p}-x-\alpha ^{p}+\alpha $. אז לכל j מתקיים $ f(\alpha +j)=(\alpha +j)^{p}-\alpha -j-\alpha ^{p}-\alpha =j^{p}-j=0 $ לפי המשפט הקטן של פרמה. לכן $ f $ מתפצל ב-$ L $. הוא גם פולינום ספרבילי כי הוא זר לנגזרת שלו (שהיא 1-) ולכן $ L/K $ הרחבת גלואה. כל איבר בה, $ \sigma $, הוא K-אוטומורפיזם של $ L $ ולכן מעביר את $ \alpha $ לשורש כלשהו של $ f $, $ \alpha +j $. לכן אפשר להגדיר פונקציה $ \omega :\operatorname {Gal} (L/K)\to \mathbb {F} _{p} $ המקיימת $ \sigma (\alpha )=\alpha +\omega (\sigma ) $. כאן $ \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} $ הוא השדה הראשוני מסדר p אבל אנו מסתכלים עליו כעל החבורה האבלית $ \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,...,p-1\} $ עם חיבור מודולו p. נראה ש-$ \omega $ הוא איזומורפיזם של חבורות: יהיו $ \sigma ,\tau \in \operatorname {Gal} (L/K) $. אז

$ \omega (\sigma \tau )=(\sigma \tau )(\alpha )-\alpha =\sigma (\alpha +\omega (\tau ))-\alpha =\sigma (\alpha )+\omega (\tau )-\alpha =\omega (\sigma )+\omega (\tau ) $

ולכן $ \omega $ הומומורפיזם. תמונתו היא תת-חבורה של $ \mathbb {F} _{P} $, לכן טריוויאלית או כולה. אבל אם היא הייתה טריוויאלית גם ההרחבה הייתה טריוויאלית, בסתירה להנחה. כמו כן הגרעין של $ \omega $ הוא $ \{\sigma |\sigma (\alpha )=\alpha \}=\{\operatorname {Id} \} $ לכן הוא איזומורפיזם. לכן החבורה מעגלית מסדר $ p $ כרצוי.

מ.ש.ל.