בתורת השדות, משפט ארטין שרייר נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך שחבורת גלואה של הרחבה סופית מעל שדה ממציין
תהיה ציקלית מסדר
. בכך הוא מצטרף למשפט קומר שעושה זאת על הרחבות מסדר זר למציין השדה.
המשפט
תהי
הרחבת שדות לא טריוויאלית, כאשר
. אז היא גלואה וחבורת גלואה שלה מעגלית מסדר
אם ורק אם
עבור
המקיים
.
הוכחה
כיוון אחד: נניח
מעגלית מסדר
. יהי
יוצר שלה. אז
![{\displaystyle \operatorname {Tr} (-1)=-1+\sigma (-1)...+\sigma ^{p-1}(-1)=p\cdot (-1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d34ac6be7f63647cffec08cd769ac5b50f91113)
ולכן ממשפט 90 של הילברט, יש
כך ש-
. מכאן
ומכאן
. אז
כי
, וכיוון ש-
אז
ולכן
![{\displaystyle p=|G|=[L:K]=[L:K(\alpha )]\cdot [K(\alpha ):K]=[L:K(\alpha )]\cdot p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc46c93c3ceccd08bb20c7441f2ac614c1330fd)
ובסך הכל
ולכן
. כמו כן לכל
מתקיים
![{\displaystyle \sigma ^{j}(\alpha ^{p}-\alpha )=\sigma ^{j}(\alpha )^{p}-\sigma ^{j}(\alpha )=(\alpha +j)^{p}-\alpha +j=\alpha ^{p}-\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8987736d808fbeb4e0d9fbe4fad22cc4e7135b21)
ולכן
נמצא בשדה השבת
, כלומר:
.
כיוון שני: נניח
. נסמן
. אז לכל j מתקיים
לפי המשפט הקטן של פרמה. לכן
מתפצל ב-
. הוא גם פולינום ספרבילי כי הוא זר לנגזרת שלו (שהיא 1-) ולכן
הרחבת גלואה. כל איבר בה,
, הוא K-אוטומורפיזם של
ולכן מעביר את
לשורש כלשהו של
,
. לכן אפשר להגדיר פונקציה
המקיימת
. כאן
הוא השדה הראשוני מסדר p אבל אנו מסתכלים עליו כעל החבורה האבלית
עם חיבור מודולו p. נראה ש-
הוא איזומורפיזם של חבורות: יהיו
. אז
![{\displaystyle \omega (\sigma \tau )=(\sigma \tau )(\alpha )-\alpha =\sigma (\alpha +\omega (\tau ))-\alpha =\sigma (\alpha )+\omega (\tau )-\alpha =\omega (\sigma )+\omega (\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63cddf3592db018a0be73917659c333badf32378)
ולכן
הומומורפיזם. תמונתו היא תת-חבורה של
, לכן טריוויאלית או כולה. אבל אם היא הייתה טריוויאלית גם ההרחבה הייתה טריוויאלית, בסתירה להנחה. כמו כן הגרעין של
הוא
לכן הוא איזומורפיזם. לכן החבורה מעגלית מסדר
כרצוי.
מ.ש.ל.