משפט ארטין-שרייר (הרחבות ציקליות)

בתורת השדות, משפט ארטין שרייר נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך שחבורת גלואה של הרחבה סופית מעל שדה ממציין $p$ תהיה ציקלית מסדר $p$. בכך הוא מצטרף למשפט קומר שעושה זאת על הרחבות מסדר זר למציין השדה.

המשפט

תהי $L/K$ הרחבת שדות לא טריוויאלית, כאשר $\operatorname {char} K=p$. אז היא גלואה וחבורת גלואה שלה מעגלית מסדר $p$ אם ורק אם $L=K(\alpha )$ עבור $\alpha \in L\setminus K$ המקיים $\alpha ^{p}-\alpha \in K$.

הוכחה

כיוון אחד: נניח $G=\operatorname {Gal} (L/K)$ מעגלית מסדר $p$. יהי $\sigma$ יוצר שלה. אז

$\operatorname {Tr} (-1)=-1+\sigma (-1)...+\sigma ^{p-1}(-1)=p\cdot (-1)=0$

ולכן ממשפט 90 של הילברט, יש $\alpha \in L$ כך ש-$\alpha -\sigma (\alpha )=-1$. מכאן $\sigma (\alpha )=\alpha +1$ ומכאן $\sigma ^{j}(\alpha )=\alpha +j$. אז $\alpha \notin K$ כי $\sigma (\alpha )\neq \alpha$, וכיוון ש-$[K(\alpha ):K]=p$ אז $[K(\alpha ):K]|p$ ולכן

$p=|G|=[L:K]=[L:K(\alpha )]\cdot [K(\alpha ):K]=[L:K(\alpha )]\cdot p$

ובסך הכל $[L:K(\alpha )]=1$ ולכן $L=K(\alpha )$. כמו כן לכל $j\in \mathbb {F} _{p}\subseteq K$ מתקיים

$\sigma ^{j}(\alpha ^{p}-\alpha )=\sigma ^{j}(\alpha )^{p}-\sigma ^{j}(\alpha )=(\alpha +j)^{p}-\alpha +j=\alpha ^{p}-\alpha$

ולכן $\alpha ^{p}-\alpha$ נמצא בשדה השבת $L^{G}=K$, כלומר: $\alpha ^{p}-\alpha \in K$.

כיוון שני: נניח $L=K(\alpha )$. נסמן $f=x^{p}-x-\alpha ^{p}+\alpha$. אז לכל j מתקיים $f(\alpha +j)=(\alpha +j)^{p}-\alpha -j-\alpha ^{p}-\alpha =j^{p}-j=0$ לפי המשפט הקטן של פרמה. לכן $f$ מתפצל ב-$L$. הוא גם פולינום ספרבילי כי הוא זר לנגזרת שלו (שהיא 1-) ולכן $L/K$ הרחבת גלואה. כל איבר בה, $\sigma$, הוא K-אוטומורפיזם של $L$ ולכן מעביר את $\alpha$ לשורש כלשהו של $f$, $\alpha +j$. לכן אפשר להגדיר פונקציה $\omega :\operatorname {Gal} (L/K)\to \mathbb {F} _{p}$ המקיימת $\sigma (\alpha )=\alpha +\omega (\sigma )$. כאן $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ הוא השדה הראשוני מסדר p אבל אנו מסתכלים עליו כעל החבורה האבלית $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,...,p-1\}$ עם חיבור מודולו p. נראה ש-$\omega$ הוא איזומורפיזם של חבורות: יהיו $\sigma ,\tau \in \operatorname {Gal} (L/K)$. אז

$\omega (\sigma \tau )=(\sigma \tau )(\alpha )-\alpha =\sigma (\alpha +\omega (\tau ))-\alpha =\sigma (\alpha )+\omega (\tau )-\alpha =\omega (\sigma )+\omega (\tau )$

ולכן $\omega$ הומומורפיזם. תמונתו היא תת-חבורה של $\mathbb {F} _{P}$, לכן טריוויאלית או כולה. אבל אם היא הייתה טריוויאלית גם ההרחבה הייתה טריוויאלית, בסתירה להנחה. כמו כן הגרעין של $\omega$ הוא $\{\sigma |\sigma (\alpha )=\alpha \}=\{\operatorname {Id} \}$ לכן הוא איזומורפיזם. לכן החבורה מעגלית מסדר $p$ כרצוי.

מ.ש.ל.