משוואת קלרו

משוואת קלרו (באנגלית: Clairaut's relation), שנקראת על שם אלכסיס קלוד קלרו, היא נוסחה בגאומטריה דיפרנציאלית שמתארת את ההתנהגות של גאודזות על משטחי סיבוב. קלרו גזר את הנוסחה ראשית עבור גאודזות של כדור, ולאחר מכן הראה שהיא תקפה גם למשטח סיבוב שרירותי; הוא יישם אותה במאמר מ-1733 למקרה של גאודזות על משטחי סיבוב ממעלה רביעית.

הנוסחה

הנוסחה קושרת בין המרחק (r(t מנקודה על מעגל גדול של ספירת היחידה לציר ה-z, לזווית (θ(t בין הווקטור המשיק לעקום למעגל המתאר את קו הרוחב המקומי:

$r(t)\cos \theta (t)={\text{constant}}.\,$

הקשר הזה נשאר תקף למשטח סיבוב שרירותי.

ניסוח מתמטי פורמלי של משוואת קלרו הוא כדלהלן:

יהי γ עקום גיאודזי על משטח סיבוב S, יהי ρ המרחק בין נקודה של S לציר הסיבוב שלו, ותהי ψ הזווית בין γ למרידיאנים (קווי אורך) של S. אז המכפלה ρ sin ψ קבועה לאורך γ. באופן הפוך, אם ρ sin ψ קבועה לאורך עקום מסוים γ המוכל במשטח, אז γ הוא עקום גאודזי.

ניתן לתת גם פרשנות פיזיקלית לקביעה זאת; משוואת קלרו מבטאת את הרעיון שהתנע הזוויתי של חלקיק יחסית לציר הסיבוב של המשטח המחליק לאורך מסילה גאודזית ללא השפעת כוחות חיצוניים (פרט לאלו השומרים אותו על המשטח) צריך להישמר.

ראו גם

• מסילה גאודזית