משוואת הכוח של אמפר

במגנטוסטטיקה, הנוסחה המתארת את כוח המשיכה או הדחייה בין שני תילים נושאי זרם נקראת משוואת הכוח של אמפר, על שם אנדרה מרי אמפר (1775-1836), פיזיקאי צרפתי וחלוץ מוקדם בחקר האלקטרודינמיקה. המקור הפיזיקלי של הכוח הזה הוא שהזרם בכל תיל יוצר שדה מגנטי, בעקבות חוק ביו-סבר, והמטענים הנעים המרכיבים את הזרם בתיל השני חווים כוח מגנטי כתוצאה מכך, בהתאם לנוסחה של כוח לורנץ. המשוואה מתארת את הכוח כאינטגרל קווי כפול על שתי לולאות הזרם, כאשר דיפרנציאל הכוח מתקבל ממכפלה וקטורית משולשת של שני אלמנטי האורך של התילים ווקטור המרחק היחסי ביניהם. אמפר לא ניסח את משוואת הכוח שלו במונחים אלו, הלקוחים משפת האנליזה הווקטורית המודרנית יותר, אלא באמצעות ביטוי המערב קוסינוסים של הזוויות המגדירות את הגאומטריה הספציפית של המערך.

קונספטואלית, משוואת הכוח חייבת לבוא בצורה אינטגרלית (ולא בצורה דיפרנציאלית) שכן זרמים תמידיים תמיד באים בצורה של לולאות סגורות; אילו הזרם לא זורם בלולאה סגורה, כמו למשל כאשר הדיברגנץ של צפיפות הזרם בנקודה מסוימת שונה מאפס (כלומר כאשר הזרימה מכילה בורות או מקורות), אז הסיטואציה אינה מגנטוסטטית יותר, שכן הצטברות של מטען בנקודה במרחב גוררת שדה חשמלי משתנה, וזה בתורו גורר שדה מגנטי משתנה, וכך הלאה.

המשוואה

מקרה פרטי: שני תילים מקבילים אינסופיים נושאי זרם

שני תילים הנושאים זרם באותו כיוון מושכים אחד את השני מגנטית: בתיל התחתון יש זרם I₁, היוצר שדה מגנטי B₁. התיל העליון נושא זרם I₂ הניצב לשדה המגנטי שיוצר התחתון, כך שבהתאם לכוח לורנץ, הוא חווה כוח משיכה למטה F₁₂.

המקרה הידוע והפשוט ביותר של משוואת הכוח של אמפר, אשר ממנו נגזרת גם ההגדרה של אמפר, יחידת המידה לזרם במערכת היחידות הבינלאומית, קובע שהכוח ליחידת אורך בין שני תילים מקבילים אינסופיים נושאי זרם הוא:

{\frac {F_{m}}{L}}=2k_{A}{\frac {I_{1}I_{2}}{r}}

,

כאשר k_A הוא קבוע הכוח המגנטי מחוק ביו-סבר, F_m/L הוא הכוח שפועל על כל אחד מהתילים ליחידת אורך, r הוא המרחק בין התילים, ו-I₁, I₂ הם הזרמים הישרים שנושאים התילים.

זהו קירוב טוב אם תיל אחד ארוך משמעותית מהתיל השני, כך שניתן להתייחס אליו כבעל אורך אינסופי, ואם המרחק בין התילים קטן בהשוואה לאורכם (כך שקירוב התיל האינסופי תקף), אך גדול בהשוואה לקטרים של התילים (כך שניתן להתייחס אליהם כדקים במידה אינסופית). הערך של k_A תלוי במערכת היחידות שנבחרה, והוא קובע למעשה כמה גדולה יחידת הזרם תהיה. במערכת היחידות SI,

k_{A}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}

כאשר μ₀ הוא פרמביליות הריק, המוגדרת ב-SI כ-

\mu _{0}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ 4\pi \times 10^{-7}

N / A².

לפיכך, בריק,

הכוח למטר אורך של שני תילים מקבילים - המופרדים במרחק 1 מטר והנושאים זרם של 1 אמפר כל אחד - הוא בדיוק

\displaystyle 2\times 10^{-7}

N / m.

מקרה כללי

הניסוח הכללי של הכוח המגנטי בעבור גאומטריות שרירותיות מבוסס על אינטגרלים קוויים באופן שמשלב את חוק ביו-סבר וכוח לורנץ בנוסחה כמתואר להלן.

{\vec {F}}_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {I_{1}d{\vec {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ (I_{2}d{\vec {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{|r|^{2}}}

,

כאשר,

${\vec {F}}_{12}$ הוא הכוח המגנטי הכולל המורגש על ידי תיל 1 אודות לתיל 2 (בדרך כלל נמדד ביחידות ניוטון),
I₁ ו-I₂ הם הזרמים שעוברים דרך תיל 1 ו-2, בהתאמה (בדרך כלל נמדדים באמפר),
האינטגרל הקווי הכפול סוכם את כל הכוחות שאלמנטי הזרם של 1 חווים עקב נוכחות תיל 2,
$d{\vec {\ell }}_{1}$ ו- $d{\vec {\ell }}_{2}$ הם וקטורים אינפיניטסימליים המקושרים לתיל 1 ו-2, בהתאמה (בדרך כלל נמדדים במטרים),
הווקטור ${\hat {\mathbf {r} }}_{21}$ הוא וקטור היחידה המצביע מהאלמנט הדיפרנציאלי של תיל 2 לעבר האלמנט הדיפרנציאלי של תיל 1, ו-|r| הוא המרחק שמפריד בין האלמנטים הללו,
סימן הכפל × מייצג מכפלה וקטורית,
הסימן של 'I_n הוא יחסית לאוריינטציה $d{\vec {\ell }}_{n}$ .