נורמה-למחצה

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית, נורמה-למחצה היא פונקציונל המוגדר במרחב וקטורי כלשהו מעל שדה הממשיים או שדה המרוכבים, ומקיים תת-חיבוריות והומוגניות בהחלט. נורמה-למחצה היא גרסה חלשה יותר של הנורמה ומייצגת מונח מקורב למונח האורך.

לנורמות-למחצה מגוון שימושים, בהם בגרסאות של משפט האן-בנך, וכן בהגדרה של מרחבים וקטוריים טופולוגיים קמורים מקומית.

בערך זה נסמן ב- $V$ מרחב וקטורי כלשהו. נסמן ב- $\mathbb {K}$ את השדה מעליו פועל $V$ כאשר $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ (שדה הממשיים) או $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ (שדה המרוכבים). כמו כן, עבור $A,B\subseteq V$ , $v\in V$ ו- $\lambda \in \mathbb {K}$ נסמן:

$A+B:=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}$

$A+v=v+A:=\{a+v\mid a\in A\}$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda A:=\{\lambda a\mid a\in A\}}

הגדרה מתמטית

פונקציונל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p:V\to \mathbb{R}} ייקרא נורמה-למחצה אם ורק אם הוא מקיים את התכונות הבאות:^[1]

תת-חיבוריות: לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y\in V} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x+y)\le p(x)+p(y)}
הומוגניות בהחלט: לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in V} ולכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda\in\mathbb{K}} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(\lambda x)=|\lambda|p(x)}

משתי תכונות אלו נובעות גם התכונות הבאות:

אי-שליליות: לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in V} מתקיים $p(x)\geq 0$
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(0)=0}

נורמה-למחצה תהווה נורמה של המרחב הווקטורי אם היא בנוסף מקיימת את התכונה הבאה:

חיוביות בהחלט: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x)=0} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in V} אז בהכרח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=0} .

תכונה זו אינה מתקיימת בהכרח לכל נורמה-למחצה. על כן, כל נורמה היא נורמה-למחצה בעוד ההפך איננו תמיד נכון.

כל נורמה-למחצה היא פונקציה תת-ליניארית.

תכונות

מרחב האפסים

באופן דומה לפונקציות ליניאריות, קבוצת האפסים של כל נורמה-למחצה מהווה תת-מרחב וקטורי של מרחב התחום. כלומר, בהינתן נורמה-למחצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} , ניתן להגדיר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=\operatorname{Ker}(p):=\{x\in V \mid p(x)=0\}}

ניתן להוכיח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} הוא תת-מרחב של $V$ . עובדה זאת נובעת מכך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y\in \operatorname{Ker}(p)} ולכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda\in\mathbb{K}} מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(\lambda x)=|\lambda|p(x)=0}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\le p(x+y)\le p(x)+p(y)=0+0=0 \implies p(x+y)=0}

כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} סגור לחיבור ולכפל בסקלר. משמעות תכונה זו היא ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} מהווה נורמה של המרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Ker}(p)} הוא המרחב הווקטורי הטריויאלי $\{0\}$ .

כדורים פתוחים

עבור נקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\in V} ורדיוס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r>0} ניתן להגדיר כדור פתוח לפי נורמה-למחצה כלשהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} בדומה לאופן שבו כדור זה מוגדר עבור נורמה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_p(a;r)=\{x\in V\mid p(x-a)<r\}}

כל כדור כזה מהווה קבוצה קמורה. מעבר לכך, כל כדור סביב הראשית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_p(0;r)} מהווה קבוצה בולעת קמורה לחלוטין.

רציפות

בהינתן מרחב וקטורי טופולוגי, נורמה-למחצה על מרחב זה היא פונקציה רציפה אם ורק אם היא רציפה בראשית. מעבר לכך, כל נורמה-למחצה רציפה היא פונקציה רציפה במידה שווה. תכונות אלו מתקיימות עבור כל פונקציה תת-ליניארית (לאו דווקא נורמה-למחצה).

בהינתן מרחב וקטורי טופולוגי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} ושתי נורמות למחצה המוגדרות עליו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p,q} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} נשלטת על-ידי $q$ (כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x)\le q(x)} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in V} ), ניתן להוכיח כי אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q} רציפה אז בהכרח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} רציפה. תכונה זו מתקיימת לכל נורמה-למחצה אבל לא בהכרח לפונקציה תת-ליניארית כללית.

קשר לפונקציונל מינקובסקי

ערך מורחב – פונקציונל מינקובסקי

עבור תת-קבוצה בולעת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\subseteq V} , פונקציונל מינקובסקי של קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} הוא הפונקציונל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_A:V\to \mathbb{R}} המוגדר כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in V} :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_A(x):=\inf\{c\mid c>0\text{ and }x\in cA\}}

מאחר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} קבוצה בולעת, פונקציה זו מוגדרת היטב לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} .

ניתן להוכיח כי כל פונקציונל מינקובסקי של קבוצה בולעת וקמורה הוא נורמה-למחצה.

יתרה מזאת, עבור נורמה-למחצה כלשהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} , כדור היחידה הפתוח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A:=B_p(0;1)} הוא קבוצה בולעת וקמורה וניתן להוכיח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\equiv f_A} . כלומר, כל נורמה-למחצה שווה לפונקציונל מינקובסקי של כדור היחידה שלה.^[2]

קשר למרחבים קמורים מקומית

ערך מורחב – מרחב קמור מקומית

מרחב קמור מקומית הוא מרחב וקטורי טופולוגי עבורו קיים בסיס מקומי הבנוי מסביבות פתוחות קמורות בראשית. ניתן להוכיח כי כל מרחב שכזה ניתן לבנייה באמצעות נורמות-למחצה.

בהינתן מרחב וקטורי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} ומשפחה של נורמות-למחצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{P}} על מרחב זה, משפחה זו נקראת משפחה מפרידה אם ורק אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\ne x\in V} קיימת נורמה-למחצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\in \mathcal{P}} כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x)\ne 0} . באמצעות משפחה זו ניתן להגדיר בסיס טופולוגי המורכב מכדורים פתוחים לפי נורמות-למחצה אלו:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{B}:=\{B_p(x;r)\mid x\in V,p\in\mathcal{P},r>0\}}

ניתן להוכיח כי הטופולוגיה הנפרשת על-ידי כדורים אלו רציפה לפי כפל בסקלר ולפי הזזה, ועל כן הופכת את המרחב למרחב וקטורי טופולוגי. מרחב וקטורי טופולוגי זה יהיה בהכרח מרחב קמור מקומית.

ניתן להוכיח כי לכל מרחב קמור מקומית קיימת משפחה מפרידה של נורמות-למחצה כך שהטופולוגיה של המרחב זהה לנורמה הנפרשת על-ידי כדורים פתוחים של הנורמות-למחצה הללו. עובדה זו הופכת את השימוש במשפחה מפרידה של נורמות-למחצה כהגדרה אלטרנטיבית למרחב קמור מקומית.^[3]

דוגמאות

פונקציות p אינטגרביליות

בהינתן מרחב מידה כלשהו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega} בעל פונקציית מידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p>1} , מגדירים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} את מרחב כל הפונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:\Omega\to \mathbb{R}} כך ש"נורמת p" שלה סופית, כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|f\|_p=\left(\int_\Omega{|f|^pd\mu}\right)^\frac{1}{p}}

ניתן להראות כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} הוא מרחב וקטורי ביחס לחיבור פונקציות וכפל בסקלר וכי $\|\cdot \|_{p}$ מהווה בה נורמה-למחצה. במרחב זה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|\cdot\|_p} אינה נורמה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} מכיוון שלכל פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} אשר מתאפסת כמעט בכל מקום יתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|f\|_p=0} , גם אם היא בעצמה אינה פונקציית האפס.

על-מנת להפוך את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|\cdot\|_p} לנורמה נהוג להגדיר על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} יחס שקילות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sim} כך שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f,g\in X} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\sim g} אם ורק אם הן שוות זו לזו כמעט בכל מקום. לאחר מכן מגדירים מרחב מחלקות שקילות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} ביחס ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sim} עם פעולות חיבור וכפל בסקלר סטנדרטיות (ניתן להוכיח כי הן אינן תלויות בבחירת נציג של מחלקות השקילות). מאחר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|\cdot\|_p} שווה לכל מחלקת שקילות, היא מוגדרת היטב במרחב מחלקות השקילות. ניתן להוכיח שבמרחב זה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|\cdot\|_p} מתאפסת רק עבור מחלקת השקילות של פונקציית האפס, ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|\cdot\|_p} מהווה שם נורמה. מרחב שקילות זה הוא מרחב Lp.

מרחב מכפלה

בהינתן זוג מרחבים וקטוריים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X,Y} וזוג נורמות למחצה המוגדרות עליהם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_X,p_Y} ניתן להגדיר פונקציונל על מרחב המכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P:X\times Y\to \mathbb{R}} כך ש:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(x,y):=p_X(x)+p_Y(y)}

ניתן להוכיח ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} היא נורמה למחצה במרחב המכפלה וכי הטופולוגיה המושרית ממנה היא טופולוגיית המכפלה של הנורמות המושרות מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_X,p_Y} .

ניתן להגדיר זוג פונקציונלים נוספים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_X,P_Y:X\times Y\to \mathbb{R}} כך ש-

$P_{X}(x,y):=p_{X}(x)$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_Y(x,y):=p_Y(y)}

פונקציונלים אלו אף הם נורמות-למחצה במרחב המכפלה.

ראו גם

קישורים חיצוניים

נורמה-למחצה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

^ seminorm, planetmath.org
^ M.P. Wolff, H.H. Schaefer, Topological Vector Spaces, New York: Springer New York, 2012, מסת"ב 978-1-4612-7155-0
^ Raz Kupferman, Topological Vector Spaces, Hebrew University, ‏2014-09-29 (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

37619085נורמה-למחצה

[1] seminorm, planetmath.org

[2] M.P. Wolff, H.H. Schaefer, Topological Vector Spaces, New York: Springer New York, 2012, מסת"ב 978-1-4612-7155-0

[3] Raz Kupferman, Topological Vector Spaces, Hebrew University, ‏2014-09-29 (באנגלית)

[1]

[2]

[3]

נורמה-למחצה

תוכן עניינים

הגדרה מתמטית