מספר קוונטי מגנטי

אורביטלי f: ללא תלות אזימוטלית $(m=0)$, סימטריה של °360 $(m=1)$, °180 $(m=2)$ ו- °120 $(m=3)$ בהתאמה. ניתן לראות בצורה ברורה את התלות של הרכיב האזימוטלי ב-$e^{im\phi }$.

במכניקת הקוונטים, מספר קוונטי מגנטי (magnetic quantum number) אשר מסומן ב-$m_{\ell }$, ולעיתים ב-$m$, הוא השלישי מתוך ארבעה מספרים קוונטיים אלקטרוניים המתארים אלקטרון באטום. המספר הקוונטי המגנטי מבדיל בין האורביטלים האפשריים בתוך תת-קליפה אלקטרונית, ומשמש לחישוב הרכיב הזוויתי של וקטור האורביטל במרחב.

אלקטרונים בתת-קליפה מסוימת $(s,p,d,f)$ מוגדרים לפי ערכי המספר הקוונטי הזוויתי, $\ell$ $(0,1,2,3)$. ערך $m_{\ell }$ יכול לנוע במרווחים שלמים בטווח שבין $\{-\ell ..\ell \}$ כולל הערך אפס.

לפיכך, תת-הקליפות מכילות מספרי אורביטלים וטווחי ערכי $m$ שונים בהתאם:

$${\begin{array}{c|c|c|c}\ell &letter&orbitals&m\\\hline 0&s&1&\pm 0\\1&p&3&\pm 1\\2&d&5&\pm 2\\3&f&7&\pm 3\end{array}}$$

כל אחד מהאורביטלים יכול להכיל עד שני אלקטרונים (עם ספינים מנוגדים) המהווים את הבסיס לטבלה המחזורית.

פיתוח

ציור סכמטי של צורות האורביטלים השונים בתת-הקליפות $s,p,d$. המספר הקוונטי המגנטי מציין את האורביטלים האטומיים בכל תת-קליפה אלקטרונית

משוואת הגלים של שרדינגר ניתנת לפירוק ל-3 משוואות אשר פתרונן (חלקים שונים של פונקציית הגל המהווה וקטור עצמי של ההמילטוניאן) מוביל ל-3 המספרים הקוונטיים האלקטרוניים הראשונים:

$$\psi (r,\theta ,\phi )=R(r)P(\theta )F(\phi )$$

המספר הקוונטי המגנטי נובע מתוך החלק האזימוטלי של פונקציית הגל, $F(\phi )$ (בהקשר זה, מושגי הזווית המרחבית והאזימוט מובנים יותר כאשר עוברים למערכת קואורדינטות כדוריות).

פתרון המשוואה הדיפרנציאלית עבור $F$ הוא מהצורה $F(\phi )=Ae^{\lambda \phi }$. מאחר שכל 2 ערכים של הזווית האזימוטלית $\phi$ בעלי הפרש של $2\pi$ ביניהם מייצגים את אותה נקודה במרחב ולכן פונקציה $F$ אינה יכולה לגדול עבור כל ערך שרירותי של הזווית $\phi$ כמו באקספוננט ממשי ולכן כדי לייצר אקספוננט מרוכב, המקדם $\lambda$ חייב להיות מקוונטט בכפולות $m$ של $i$:

$\lambda =im$

כפולות $m$ אלו הן המספרים הקוונטים המגנטיים.

המספר הקוונטי המגנטי, $m$, משתנה בין $-\ell$ ל-$\ell$ במרווחים שלמים ומגדיר יחד עם המספר הקוונטי היסודי, $n$ והמספר הקוונטי הזוויתי, $\ell$, את מערך הפתרונות (הערכים העצמיים או המצבים העצמיים) של משוואת שרדינגר עבור אטום מימן - $2\ell +1$ מצבים קוונטים אפשריים המבטאים אורביטלים נפרדים ומובחנים.

כל אחד מאורביטלים אלו, בעל השלשה הקוונטית: $n,\ell ,m$, יכול להכיל עד 2 אלקטרונים עם ספינים הפוכים (המוגדרים על ידי המספר הקוונטי הרביעי, מספר קוונטי ספיני שניוני, $m_{s}$) ולכן בסה"כ כל תת-קליפה אלקטרונית, $\ell$, יכולה להכיל עד $2(2\ell +1)$ אלקטרונים:

יחס בין המספרים הקוונטיים
תת קליפה	ערכי $\ell ,m$	מספר אורביטלים (מספר ה-$m$ האפשריים)	מספר אלקטרונים מרבי
s	$\ell =0,\quad m=0$	1	2
p	$\ell =1,\quad m=-1,0,+1$	3	6
d	$\ell =2,\quad m=-2,-1,0,+1,+2$	5	10
f	$\ell =3,\quad m=-3,-2,-1,0,+1,+2,+3$	7	14
g	$\ell =4,\quad m=-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4$	9	18

היטל תנע זוויתי

אילוסטרציה של תנע זוויתי מרחבי במכניקה קוונטית. הקונוסים והמישור מייצגים אוריינטציות אפשריות של וקטור התנע הזוויתי עבור $\ell =2$ ו-$m=-2,-1,0,1,2$.

המספר הקוונטי המגנטי $m$ מתאר את היטל וקטור התנע הזוויתי של האורביטל, ${\vec {L}}$, בכיוון אשר נבחר באופן שרירותי ונקרא בדרך כלל כיוון $z$ או ציר קוונטיזציה. גודלו של רכיב זה, $L_{z}$, מחושב על פי המספר הקוונטי המגנטי $m$:

$L_{z}=m\hbar$

כאשר, $\hbar$ הוא קבוע פלאנק המצומצם.

גודלו של התנע הזוויתי הכולל, $L$, ניתן על ידי הנוסחה הבאה:

$L=\hbar {\sqrt {\ell (\ell +1)}}$

כאשר $\ell$ הוא המספר הקוונטי הזוויתי.

$L=0$ עבור $\ell =0$ ומשוער ל- $L=(\ell +0.5)\hbar$ עבור $\ell$ גבוה.

לא ניתן למדוד את התנע הזוויתי ב-3 הצירים בו-זמנית. תכונות אלו הוכחו לראשונה בניסוי שטרן-גרלך על ידי אוטו שטרן ווולטר גרלך.

אפקטיביות בנוכחות שדה מגנטי

• בהיעדר שדה מגנטי חיצוני, כל ההרמוניות הכדוריות המתאימות לערכים השרירותיים השונים של המספר הקוונטי המגנטי, $m$, שוות ערך (ניוון של $2\ell +1$) ולכן אין תלות של רמות האנרגיה ב-$m$.
• בנוכחות שדה מגנטי חיצוני, מתרחש אפקט זימן - עם הפעלתו של השדה (בכיוון ציר Z, ללא הגבלת הכלליות), נשברת הסימטריה ומוסר הניוון, כך שנוצר פיצול של כל רמת אנרגיה ל-$2\ell +1$ רמות אנרגיה שכל אחת מהן מיוצגת על ידי מספר $m_{\ell }$ שונה - מכאן מקור השם: "מספר קוונטי מגנטי".

נקיפת לרמור - הווקטור של התנע הזוויתי מסתובב סביב צירו של השדה המגנטי 

עם זאת, מומנט דיפול מגנטי של אלקטרון באורביטל אטומי מורכב לא רק מהתנע הזוויתי של האלקטרון המבוטא על ידי המספר הקוונטי המגנטי, אלא גם מספין האלקטרון, המבוטא על ידי המספר הקוונטי הספיני השניוני.

מאחר שלכל אלקטרון יש מומנט מגנטי בשדה מגנטי, הוא יהיה כפוף למומנט כוח אשר מטה את כיוון וקטור התנע הזוויתי, ${\vec {L}}$, לכיוון השדה המגנטי ${\vec {B}}$, תופעה הידועה בשם נקיפת לרמור.

ראו גם

• תנע זוויתי
• מכניקת הקוונטים
• משוואת שרדינגר
• אטום המימן
• רמת אנרגיה
• אורביטל אטומי
• מבנה אלקטרוני