מספר קוונטי ספיני שניוני

תרשים המציג את ערכי היטל הספין על ציר $z$ עבור חלקיקים בעלי ספין $s={\frac {1}{2}}$ כגון אלקטרונים.

במכניקת הקוונטים, מספר קוונטי ספיני שניוני (secondary spin quantum number) אשר מסומן ב-$m_{s}$, הוא הרביעי מתוך 4 מספרים קוונטיים אלקטרוניים המתארים אלקטרון באטום. מספר זה המכונה גם מספר קוונטי ספיני היטלי, מתאר את הספין (תנע זוויתי פנימי) של האלקטרון בתוך אורביטל אטומי ומבטא את היטלו לאורך ציר $z$.

היסטוריה

בניסוי שטרן-גרלך אלומת חלקיקים לא מקוטבים (בעלי ספין ממוצע 0) עוברת דרך שדה מגנטי הגורם לפיצול מרחבי שלהם בכיוונים שונים

וידאו המסביר את ההבדל בין ספין (קוונטי) לעומת מגנט (קלאסי) בניסוי שטרן-גרלך

1922 - ניסוי שטרן-גרלך

ערך מורחב – ניסוי שטרן-גרלך

בשנת 1922, ביצעו הפיזיקאים הגרמנים אוטו שטרן ווולטר גרלך ניסוי שהדגים את קווינטוט האוריינטציה המרחבית של התנע הזוויתי.

בניסוי נודפו אטומי כסף על ידי חימום כסף בתנור, ולאחר מכן הם הוכוונו כאלומה דרך שדה מגנטי לא אחיד. בכניסה לשדה המגנטי האוריינטציה המרחבית של אטומי הכסף הייתה אקראית. ביציאה מהשדה המגנטי הוצבה כגלאי לוחית, ועליה הצטברו אטומי הכסף בהתאם למקום פגיעתם. מהרישום שהותירו החלקיקים בגלאי התברר כי התנע הזוויתי שלהם מתפלג סביב שני ערכים בלבד, $\pm {\frac {\hbar }{2}}$ במקום סביב רצף ערכים המתבקש על פי המכניקה הקלאסית. המסקנה מתוצאה זו היא שהתנע הזוויתי אינו רציף, ומקבל ערכים בדידים. 

ב-1927 הפעילו פיפס וטיילור מערך ניסוי הדומה לזה של שטרן וגרלך, על אלומת אטומי מימן. גם בניסוי זה התפלג התנע הזוויתי סביב שני ערכים בדידים. מניסוי זה התברר כי מקור התנע הזוויתי ב-2 הניסויים (שטרן-גרלך ופיפס-טיילור) הוא אלקטרון ערכיות בודד ומכאן שלאלקטרון יש ספין (תנע זוויתי פנימי).

1925 - עקרון האיסור של פאולי

ערך מורחב – עקרון האיסור של פאולי

ב-1924 הציע הפיזיקאי האוסטרי, וולפגנג פאולי דרגה קוואנטית חדשה, כדי לפתור אי-עקביויות בין ספקטרומים מולקולריים נצפים לבין מכניקת הקוונטים המתפתחת. ב-1925 ניסח את עקרון האיסור שלו, ככל הנראה עבודתו החשובה ביותר, אשר קבעה ששני אלקטרונים לא יכולים להיות באותו מצב קוואנטי. רעיון הספין אשר פותח שנה לאחר מכן בידי ראלף קרוניג, גאורג אוהלנבק וסמואל גודסמית זיהה אותה דרגת חופש כספין של האלקטרון.

ב-1926, זמן קצר לאחר שהייזנברג פרסם את תאוריית המטריצה של מכניקת הקוונטים המודרנית, השתמש בה פאולי כדי להסיק את הספקטרום של אטום המימן, וכך עזר רבות לביסוס התאוריה.

ב-1927 הוא הציג את מטריצות פאולי, כבסיס לאופרטורים של הספין, ובכך טווה את התאוריה הלא-יחסית של הספין.

1928 - פיתוח רמות אנרגיה ממשוואת דיראק

ערך מורחב – משוואת דיראק

בשנת 1928 פיתח פול דיראק משוואת גל יחסותית, שחזתה את המומנט המגנטי של הספין בצורה נכונה, ובמקביל התייחסה לאלקטרון כאל חלקיק דמוי נקודה. פתרון משוואת דיראק (בניגוד למשוואת שרדינגר המקורית) עבור רמות האנרגיה של האלקטרון באטום המימן, כולל את כל 4 המספרים הקוונטיים האלקטרוניים ותואם את תוצאות הניסויים.

פיתוח מתמטי

כפתרון למשוואה דיפרנציאלית חלקית מסוימת, ניתן לבטא את התנע הזוויתי המקוונטט:

$\Vert {\vec {S}}\Vert ={\sqrt {s\,(s+1)}}\,\hbar$

כאשר:

$\Vert \mathbf {s} \Vert$ היא הנורמה של וקטור הספין ${\vec {S}}$,

$s$ הוא המספר הקוונטי (הראשוני והעיקרי) של וקטור הספין ${\vec {S}}$,

$\hbar$ הוא קבוע פלאנק המצומצם.

בהינתן כיוון שרירותי $z$ (בדרך כלל מוגדר על ידי שדה מגנטי חיצוני) היטל הספין על ציר $z$ הוא:

$S_{z}=m_{s}\hbar$

כאשר $m_{s}$ הוא המספר הקוונטי הספיני השניוני המשתנה בטווח $\{-s..s\}$ במרווחים שלמים:

$m_{s}=-s,-s+1,-s+2,...,s-2,s-1,s$

ובסה"כ עבור כל ערך ספין, $s$, קיימים $2s+1$ מצבים קוונטיים אשר כל אחד מהם מתואר על ידי מספר קוונטי ספיני שניוני, $m_{s}$ שונה. ערך הספין, $s$, הוא מספר חיובי שלם עבור בוזונים (כגון פוטון ומזון) וחצי שלם עבור פרמיונים (כגון: אלקטרון, פרוטון ונייטרון).

אלקטרון באטום

פיצול לרמות אנרגיה או למצבים עצמיים: $S_{z}=\pm {\frac {1}{2}}\hbar$ - ספין "מעלה" $\left(\left|\uparrow \right\rangle \right)$ וספין "מטה"$\left(\left|\downarrow \right\rangle \right)$.

לאלקטרון בודד יש מספר ספין $s={\frac {1}{2}}$ וכתוצאה מכך המספר הקוונטי הספיני השניוני שלו הוא $m_{s}=\pm {\frac {1}{2}}$ שמשמעותו פיצול לרמות אנרגיה או למצבים עצמיים:

• ספין "מעלה" ("spin up") $\left(\left|\uparrow \right\rangle \right)$ - מתאים לערך $m_{s}=+{\frac {1}{2}}$
• ספין "מטה" ("spin down") $\left(\left|\downarrow \right\rangle \right)$ - מתאים לערך $m_{s}=-{\frac {1}{2}}$

עקב עיקרון האיסור של פאולי, האלקטרונים המאכלסים אורביטל יחיד חייבים להיות במצבים קוונטים שונים זה מזה. לכן, כל אורביטל יכול להכיל רק 2 אלקטרונים (עם מצבים עצמיים שונים) לכל היותר.

באנלוגיה לאופרטור התנע הזוויתי, ${\hat {L}}$, ניתן לחשב את גודלו של אופרטור הספין, ${\hat {S}}$:

$\Vert {\vec {S}}\Vert ={\sqrt {s\,(s+1)}}\,\hbar =\hbar {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}+1\right)}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\hbar$

וכן את גודלו של היטל אופרטור הספין על ציר $z$:

$S_{z}=m_{s}\hbar =\pm {\frac {1}{2}}\hbar$

 ראו גם

• תנע זוויתי
• מכניקת הקוונטים
• משוואת שרדינגר
• אטום המימן
• רמת אנרגיה
• אורביטל אטומי
• מבנה אלקטרוני

קישורים חיצוניים

• Full treatment of Spin--including origins, evolution of Spin Theory, and details of the Spin equations