מספר פיתגורס

באריתמטיקה של שדות, מספר פיתגורס של שדה שווה למספר הריבועים הנחוץ להצגת כל סכום של ריבועים בשדה. מקובל לסמן את מספר פיתגורס של השדה F ב-p(F). כתכונות אריתמטיות רבות אחרות, מספר פיתגורס של שדות עשוי להיות קשה לחישוב. הערך של מספר פיתגורס הוא 1 אם ורק אם כל סכום של ריבועים הוא ריבוע, כלומר השדה הוא שדה פיתגורי.

מספר פיתגורס של שדות שאינם סדורים

אפשר לסדר שדה אם ורק אם 1- אינו סכום של ריבועים. אם השדה F אינו ניתן לסידור, הגובה שלו הוא מספר הריבועים הנחוץ להצגת 1-. ידוע שהגובה, s(F), הוא תמיד חזקה של 2. עבור שדות שאינם ניתנים לסידור, $\ s(F)\leq p(F)\leq s(F)+1$ . מספר פיתגורס של שדה טורי לורן $\ \mathbb {C} ((t))$ הוא 2.

שדות מקומיים ושדות גלובליים

מספר פיתגורס של שדה המספרים הרציונליים הוא 4 (זהו משפט ארבעת הריבועים של לגרנז', בצירוף העובדה ש-7 אינו ניתן להצגה כסכום של שלושה ריבועים). בכל שדה מקומי, ובכל שדה מספרים שאינו ניתן לסידור, מתקיים $\ p(F)=\operatorname {min} (s(F)+1,4)$ . בשדה מספרים K הניתן לסידור, מספר פיתגורס הוא 3 אם לכל ראשוני דיאדי הממד של $\ K_{P}$ מעל שדה המספרים ה-2-אדיים $\ \mathbb {Q} _{2}$ זוגי, ו-4 אחרת.

הרחבות סופיות

אם K/F הרחבה סופית של שדות ניתנים לסידור, אז $\ 2\leq p(K)\leq [K:F]\,p(F)$ .

שדות פונקציות

ההתנהגות של מספר פיתגורס עם המעבר לשדה פונקציות אינה ברורה. לא ידוע אפילו האם $\ p(K(x))$ סופי לכל שדה K שמספר פיתגורס שלו סופי.

חישוב מספר פיתגורס של שדה הפונקציות $\ {\mathbb {R} }(x_{1},\dots ,x_{n})$ קשור בבעיה ה-17 של הילברט. ידוע שהמספר הזה אינו עולה על $\ 2^{n}$ ; זה נכון לכל שדה שדרגת הטרנסצנדנטיות שלו מעל שדה סגור ממשית (כגון שדה הממשיים $\ \mathbb {R}$ ) היא n. ידוע ש- $\ p(\mathbb {R} (x))=2$ (ואפילו $\ {\tilde {p}}(\mathbb {R} )=2$ , ראו להלן), ו- $\ p(\mathbb {R} (x_{1},x_{2}))=4$ . עבור n>2 ידוע רק ש- $\ n+2\leq p({\mathbb {R} }(x_{1},\dots ,x_{n}))\leq 2^{n}$ .

בדומה לזה, ידוע ש- $\ p({\mathbb {Q} }(x_{1},\dots ,x_{n}))\leq 2^{n+1}$ לכל n>=2 (Jansen). עבור n=1 ידוע ש- $\ p({\mathbb {Q} }(x))=5$ (Pourchet, 1971). באופן כללי יותר, לכל שדה מספרים ניתן לסידור K מתקיים $\ p(K(x))\geq p(K)+1$ ; ולכל שדה מספרים K שאינו ניתן לסידור, $\ p(K(x))\geq s(K)+1$ . עבור $\ F={\mathbb {Q} }_{\operatorname {pyth} }$ , הסגור הפיתגורי של שדה המספרים הרציונליים, $\ p(F(x))\in \{3,4\}$ .

מסמנים ב- $\ {\tilde {p}}(F)$ את הסופרימום של מספרי פיתגורס של ההרחבות הטרנסצנדנטיות מדרגה 1 של F. ידוע ש- $\ {\tilde {p}}(F)=s(F)+1$ אם F אינו ניתן לסידור; $\ {\tilde {p}}(\mathbb {Q} )\in \{5,6\}$ (Pop, 1971); $\ {\tilde {p}}(\mathbb {R} ((t)))=3$ .