מספר פיתגורס
באריתמטיקה של שדות, מספר פיתגורס של שדה שווה למספר הריבועים הנחוץ להצגת כל סכום של ריבועים בשדה. מקובל לסמן את מספר פיתגורס של השדה F ב-p(F). כתכונות אריתמטיות רבות אחרות, מספר פיתגורס של שדות עשוי להיות קשה לחישוב. הערך של מספר פיתגורס הוא 1 אם ורק אם כל סכום של ריבועים הוא ריבוע, כלומר השדה הוא שדה פיתגורי.
מספר פיתגורס של שדות שאינם סדורים
אפשר לסדר שדה אם ורק אם 1- אינו סכום של ריבועים. אם השדה F אינו ניתן לסידור, הגובה שלו הוא מספר הריבועים הנחוץ להצגת 1-. ידוע שהגובה, s(F), הוא תמיד חזקה של 2. עבור שדות שאינם ניתנים לסידור, $ \ s(F)\leq p(F)\leq s(F)+1 $. מספר פיתגורס של שדה טורי לורן $ \ \mathbb {C} ((t)) $ הוא 2.
שדות מקומיים ושדות גלובליים
מספר פיתגורס של שדה המספרים הרציונליים הוא 4 (זהו משפט ארבעת הריבועים של לגרנז', בצירוף העובדה ש-7 אינו ניתן להצגה כסכום של שלושה ריבועים). בכל שדה מקומי, ובכל שדה מספרים שאינו ניתן לסידור, מתקיים $ \ p(F)=\operatorname {min} (s(F)+1,4) $. בשדה מספרים K הניתן לסידור, מספר פיתגורס הוא 3 אם לכל ראשוני דיאדי הממד של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ K_P מעל שדה המספרים ה-2-אדיים $ \ \mathbb {Q} _{2} $ זוגי, ו-4 אחרת.
הרחבות סופיות
אם K/F הרחבה סופית של שדות ניתנים לסידור, אז $ \ 2\leq p(K)\leq [K:F]\,p(F) $.
שדות פונקציות
ההתנהגות של מספר פיתגורס עם המעבר לשדה פונקציות אינה ברורה. לא ידוע אפילו האם $ \ p(K(x)) $ סופי לכל שדה K שמספר פיתגורס שלו סופי.
חישוב מספר פיתגורס של שדה הפונקציות $ \ {\mathbb {R} }(x_{1},\dots ,x_{n}) $ קשור בבעיה ה-17 של הילברט. ידוע שהמספר הזה אינו עולה על $ \ 2^{n} $; זה נכון לכל שדה שדרגת הטרנסצנדנטיות שלו מעל שדה סגור ממשית (כגון שדה הממשיים $ \ \mathbb {R} $) היא n. ידוע ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ p(\mathbb{R}(x))=2 (ואפילו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ \tilde{p}(\mathbb{R})=2 , ראו להלן), ו-$ \ p(\mathbb {R} (x_{1},x_{2}))=4 $. עבור n>2 ידוע רק ש-$ \ n+2\leq p({\mathbb {R} }(x_{1},\dots ,x_{n}))\leq 2^{n} $.
בדומה לזה, ידוע ש- $ \ p({\mathbb {Q} }(x_{1},\dots ,x_{n}))\leq 2^{n+1} $ לכל n>=2 (Jansen). עבור n=1 ידוע ש-$ \ p({\mathbb {Q} }(x))=5 $ (Pourchet, 1971). באופן כללי יותר, לכל שדה מספרים ניתן לסידור K מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ p(K(x)) \geq p(K)+1 ; ולכל שדה מספרים K שאינו ניתן לסידור, $ \ p(K(x))\geq s(K)+1 $. עבור $ \ F={\mathbb {Q} }_{\operatorname {pyth} } $, הסגור הפיתגורי של שדה המספרים הרציונליים, $ \ p(F(x))\in \{3,4\} $.
מסמנים ב-$ \ {\tilde {p}}(F) $ את הסופרימום של מספרי פיתגורס של ההרחבות הטרנסצנדנטיות מדרגה 1 של F. ידוע ש-$ \ {\tilde {p}}(F)=s(F)+1 $ אם F אינו ניתן לסידור; $ \ {\tilde {p}}(\mathbb {Q} )\in \{5,6\} $ (Pop, 1971); $ \ {\tilde {p}}(\mathbb {R} ((t)))=3 $.
מספר פיתגורס34222257Q2120051