וקטור גל

וקטור גל הוא וקטור המשמש לתיאור התנע של גלים, והוא מסומן ב-${\vec {k}}$. גודלו הוא מספר הגל וכוונו הוא כוון התקדמות הגל. וקטור הגל הוא הכללה למרחב התלת-ממדי של מספר הגל.

הגדרה

גודלו של וקטור הגל נקרא מספר הגל והוא עומד ביחס הפוך לאורך הגל:

$\ k={\frac {2\pi }{\lambda }}$

מספר הגל מתאר את קצב תנודות הגל כתלות במרחב באותו האופן שבו התדירות הזוויתית מתארת את קצב התנודות כתלות בזמן. כיוונו של הווקטור, ${\hat {k}}$, הוא כיוון התקדמות הגל במרחב התלת-ממדי.

ניתן לרשום את וקטור הגל בקואורדינטות קרטזיות, כאשר כל רכיב הוא מספר הגל של היטל הגל על אחד הצירים:

${\vec {k}}=(k_{x},k_{y},k_{z})$

גל סינוסי

הפונקציה המתארת גל סינוסי היא:

$\ \psi ({\vec {r}},t)=A\sin({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)$

$\ {\vec {r}}$ הוא וקטור ההעתק, t הוא הזמן, A היא משרעת הגל ו-$\,\omega$ היא התדירות הזוויתית של הגל.

את הפונקציה ניתן לרשום כתלות ברכיבי וקטור הגל בקואורדינטות קרטזיות:

$\ \psi (x,y,z,t)=A\sin(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z-\omega t)$

הצגה נוספת, העושה שימוש באקספוננט המרוכב, היא:

$\ \psi ({\vec {r}},t)=A\exp {\left[i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)\right]}$

פונקציית גל ומספר הגל של חלקיק

במכניקת הקוונטים ובפיזיקת חלקיקים קיים עקרון דואליות גל-חלקיק, כלומר חלקיק הוא גם גל, ולכן יש לו פונקציית גל, אורך גל מיוחד וגם מספר גל.

וקטור התנע $\ {\vec {p}}$ של חלקיק נמצא ביחס ישר לווקטור הגל שלו:

${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}$,

כאשר $\ \hbar$ הוא קבוע פלאנק המצומצם.

אם פונקציית הגל היא גל עומד, מספר הגל, וכתוצאה מכך גם גודל התנע של החלקיק, יכולים לקבל רק ערכים מסוימים. כך למשל, בבעיית חלקיק בקופסה פונקציית הגל מתאפסת על הדפנות של תיבה, והפתרונות האפשריים לווקטור הגל הם:

${\vec {k}}=(k_{x},k_{y},k_{z})=({\frac {\pi n_{x}}{L_{x}}},{\frac {\pi n_{y}}{L_{y}}},{\frac {\pi n_{z}}{L_{z}}})$

כאשר L_i הם אורכי צלעות התיבה ו-n_i מספרים שלמים.

בתורת היחסות

בתורת היחסות הפרטית מגדירים 4-וקטור גל:

$\ k^{\mu }=(k^{0},k^{1},k^{2},k^{3})=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)$

ה"נורמה" של הווקטור היא

$k^{2}=k^{\mu }k_{\mu }=k^{0}k_{0}-k^{1}k_{1}-k^{2}k_{2}-k^{3}k_{3}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\vec {k}}^{2}=0.\,$

המעבר האחרון נכון עבור גל אור בריק בו יחס הנפיצה הוא $\ \omega =ck$.

בתור 4-וקטור יחסותי, 4-וקטור הגל עובר טרנספורמציית לורנץ כמו 4-וקטור המקום. באמצעות מעבר זה ניתן להסיק את אפקט דופלר היחסותי.

אפקט דופלר היחסותי

טרנספורמציית לורנץ עבור מקור הנע במהירות $\ {\vec {v}}=\beta c{\hat {x}}$ היא

$\Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

במצב בו אור מוקרן ממקור הנע במהירות יחסותית, ישנו אפקט דופלר ושינוי בתדירות הנצפית. למשל, כאשר עצם המקרין אור בחלל הנע ביחס לכדור הארץ (בו נמצאת המעבדה בה נמדדת התדירות) אפשר לחשב את התדירות הנצפית במערכת כדו"א S^obs על ידי חישוב טרנספורמציית לורנץ על רכיב התדירות (רכיב ה-0) של 4-וקטור הגל. נסמן את המערכת בה המקור נייח ב-S^src. אזי מטרנספורמציית לורנץ מקבלים

$k_{\mathrm {src} }^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }\,$

מסתכלים רק על הרכיב $\mu =0$ ומקבלים

$k_{\mathrm {src} }^{0}=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}$

כלומר

$\ {\frac {\omega _{\mathrm {src} }}{c}}=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\,$

כאשר $\cos \theta \,$ הוא קוסינוס הכיוון של $k^{1}$, כלומר: $k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .$

לכן

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}\,$

• עבור מקור המתרחק ממערכת הצופה בכיוון הקרינה (במקרה שלנו, בציר x) אזי $\theta =\pi$ ומקבלים

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}\,$

ניתן לראות שהתדירות קטנה, כלומר: אורך הגל גדל או נהיה אדום יותר. תופעה זו נקראת הסחה לאדום.

• עבור מקור המתקרב למערכת הצופה בכיוון הקרינה (במקרה שלנו, בציר x) אזי $\theta =0$ ומקבלים

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}\,$

ניתן לראות שהתדירות גדלה, כלומר: אורך הגל קטן. תופעה זו נקראת הסחה לכחול.