משוואת הלמהולץ

משוואת הלמהולץ היא משוואה דיפרנציאלית חלקית בעלת שימושים בפיזיקה בתחום הגלים. המשוואה קרויה על שם הרמן פון הלמהולץ וצורתה:

\nabla ^{2}\phi ({\vec {r}})+k^{2}\phi ({\vec {r}})=0

כאשר $\nabla ^{2}$ הוא אופרטור הלפלסיאן, ${\vec {r}}$ וקטור ההעתק ו-k קבוע כלשהו הנקרא מספר גל.

שימושים

בפיזיקה, המשוואה עולה בפתרון משוואת הגלים תוך הפרדת משתנים. אם פתרון משוואת הגלים ניתן לכתיבה כמכפלה של פונקציה התלויה רק בזמן בפונקציה התלויה רק בהעתק, משוואת הלמהולץ היא החלק הבלתי תלוי בזמן של משוואת הגלים.

משוואת הגלים היא המשוואה:

\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (t,{\vec {r}})=c^{2}\ \nabla ^{2}\psi (t,{\vec {r}})

בהנחה שהפתרון ניתן להפרדת משתנים, הוא נכתב כך:

\psi (t,{\vec {r}})=\phi ({\vec {r}})T(t)

בהצבה למשוואה וחלוקת שני האגפים ב- $\ \psi$ , בהנחה שאין מדובר בפונקציית האפס:

{\nabla ^{2}\phi  \over \phi }={1 \over c^{2}T}{\partial ^{2}T \over \partial t^{2}}

מאחר שאגף ימין של המשוואה תלוי רק בזמן ואגף שמאל של המשוואה תלוי רק בהעתק, פתרון ששונה מאפס יכול להתקיים רק אם שני אגפי המשוואה שווים לקבוע בלתי תלוי בזמן ובהעתק גם יחד. מסמנים:

{1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}=-k^{2}

וכן:

{\nabla ^{2}\phi  \over \phi }=-k^{2}

כאשר הסימן השלילי נבחר לשם נוחות, ללא הגבלת הכלליות. המשוואה הראשונה היא משוואת מתנד הרמוני עם תדירות זוויתית $\omega =ck$ , ופתרונה ידוע. המשוואה השנייה היא משוואת הלמהולץ.

פתרון המשוואה

פתרון משוואת הלמהולץ תלוי בתנאי השפה של הבעיה והסימטריה שלהם. למשל, בקואורדינטות כדוריות מבצעים הפרדת משתנים לפונקציה שתלויה רק במרחק מראשית הצירים שכופלת פונקציה שתלויה רק בזווית המרחבית. בהצבה למשוואת הלמהולץ תוך שימוש בלפלסיאן בקואורדינטות כדוריות, המשוואה שמתקבלת לחלק הרדיאלי היא משוואת בסל הכדורית שנפתרת על ידי פונקציות בסל כדוריות, והמשוואה שמתקבלת לחלק הזוויתי נפתרת על ידי הרמוניות ספריות. הפתרון הכללי נכתב כטור:

\phi (r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(a_{\ell m}j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}y_{\ell }(kr))Y_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi }).

כאשר $j_{\ell }$ פונקציית בסל הכדורית מהסוג הראשון מסדר $\ell$ , $y_{\ell }$ פונקציית בסל הכדורית מהסוג השני מסדר $\ell$ , $Y_{\ell }^{m}$ היא ההרמוניה הספרית מסדר l,m וסדרות המקדמים $a_{\ell m}$ ו- $b_{\ell m}$ נקבעות על ידי תנאי השפה של הבעיה.