מספרי לוקאס
במתמטיקה, מספרי לוקאס הם סדרה של מספרים טבעיים הקרויה על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס (1842-1891). הגדרתה דומה לזו של סדרת פיבונאצ'י: כל איבר בסדרה הוא סכום שני קודמיו. היא נבדלת מסדרת פיבונאצ'י בתנאי ההתחלה: האיבר האפס והאיבר הראשון הם 2 ו-1 בהתאמה. זהו מקרה פרטי של סדרת לוקאס.
תחילת הסדרה היא: ...2,1,3,4,7,11,18,29,47,76
ההגדרה הרקורסיבית של הסדרה היא:
- $ L_{n}:={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}} $
מאפיינים
כמו כל סדרה בה כל איבר מוגדר באופן רקורסיבי כצירוף ליניארי של האיברים הקודמים, ניתן לבטא את סדרת לוקאס בנוסחה סגורה על ידי סכום של שתי סדרות הנדסיות (כאשר $ \ \phi $ הוא יחס הזהב):
- $ L_{n}=\phi ^{n}+(1-\phi )^{n}=\phi ^{n}+(-\phi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\, $
מכיוון שהרכיב השני בסכום שואף ל-0 כש-n שואף לאינסוף, ניתן גם לחשב את מספרי לוקאס (מלבד השניים הראשונים) באמצעות עיגול חזקות של יחס הזהב:
- $ L_{n}=\mathrm {round} (\phi ^{n}) $
כל איבר בסדרה שווה לסכום שני מספרי פיבונאצ'י המופיעים משני צדדיו של האיבר המקביל לו בסדרת פיבונאצ'י:
$ \,L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1} $
לדוגמה, האיבר הרביעי בסדרה הוא 7 השווה לסכום של 2 ו-5, האיברים השלישי והחמישי בסדרת פיבונאצ'י.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- מספרי לוקאס, באתר MathWorld (באנגלית)
- סדרת מספרי לוקאס באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
מספרי לוקאס32446700Q2503280