סדרת פל

סדרת פל וסדרת פל-לוקאס הן סדרות של מספרים טבעיים, שהן מקרים פרטיים של סדרת לוקאס. מספר טבעי המשתייך לסדרת פל נקרא מספר פל.

מספרי פל מוכרים כבר מן העת העתיקה, והם משמשים בעיקר לחישוב קירובים לשורש הריבועי של 2. סדרת פל, יחד עם משוואת פל, יוחסו בטעות על ידי לאונרד אוילר לג'ון פל.

הגדרת הסדרה

סדרת פל מוגדרת על-פי הנוסחה הרקורסיבית

$P_{n}={\begin{cases}0&:n=0\\1&:n=1\\2P_{n-1}+P_{n-2}&:n\geq 2\end{cases}}$

כך מתקבלים המספרים 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, ...

תכונות

• היחס בין שני איברי פל עוקבים שואף ליחס הכסף $1+{\sqrt {2}}$ .

באיבר התשיעי הקירוב הוא

${\frac {985}{408}}=2.4142\approx 1+{\sqrt {2}}$

• האבר ה-$2n+1$ שווה לסכום ריבועי האברים ה-$n$ וה-$n+1$ .

$P_{2n+1}=P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}$

• תכונה מעניינת של מספרי פל היא שהביטוי $2P_{n}^{2}+(-1)^{n}$ הוא מספר ריבועי, כך שהם פותרים את ערכי $y$ של משוואת פל $x^{2}-2y^{2}=\pm 1$ .

עבור אברי סדרת פל הפותרים את $y$ , ועבור האיברים המקבילים להם ל-$x$ , היחס ${\tfrac {x}{y}}$ שואף ל-${\sqrt {2}}$ .

$1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\ldots$

ראוי לציין כי ערכי ה-$x$ המתקבלים שווים לסכום של אבר פל המקביל להם ולאבר פל שלפניו

${\frac {x}{y}}={\frac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}$

והם מקיימים את אותם תנאים של אברי הסדרה, קרי, היחס ביניהם הוא יחס הכסף, וכל אבר $x$ שווה לפעמיים קודמו ועוד האבר הקודם לקודמו. החל מהאבר ה־4 או ה־5 המנה ${\tfrac {x}{y}}$ שווה בקירוב טוב ל-${\sqrt {2}}$ .

• ככל סדרה בה כל אבר מוגדר באופן רקורסיבי כצירוף לינארי של האברים הקודמים, ניתן לבטא את סדרת פל בנוסחה סגורה על ידי סכום של שתי סדרות הנדסיות:

$P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}$

• כל מספר פל אי-זוגי, למעט הראשון, הוא חלק משלשה פיתגורית:

$2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}$

שלשות פיתגוריות המושגות בדרך זו הן למשל:

$(4,3,5),(20,21,29),(120,119,169),(696,697,985),\ldots$

סדרת פל-לוקאס

סדרת פל לוקאס מוגדרת על ידי אותה נוסחת רקורסיה כמו סדרת פל, אך יש לה תנאי פתיחה שונים: $P_{1}=P_{2}=2$ , והיא ממשיכה במספרים 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, ...