סדרת לוקאס
במתמטיקה, סדרת לוקאס היא סדרה של מספרים שלמים שאיבריה מקיימים נוסחת נסיגה מהצורה $ \ a_{n+2}=P\cdot a_{n+1}-Q\cdot a_{n} $, כאשר $ \ P $ ו-$ \ Q $ קבועים. דוגמאות מוכרות לסדרות לוקאס הן סדרת פיבונאצ'י, מספרי מרסן, מספרי לוקאס וסדרת פל. הסדרות נקראות על שם אדוארד לוקאס, דוגמה: 1,3,4,7,11,18,29......
הגדרה פורמלית
לאחר בחירת הקבועים P,Q, סדרת לוקאס מוגדרת באמצעות נוסחת הנסיגה $ \ L_{n}=PL_{n-1}-QL_{n-2} $, ותנאי ההתחלה הקובעים את $ \ L_{0},\,L_{1} $. בפרט, סדרות לוקאס עם תנאי ההתחלה $ \ U_{0}(P,Q)=0,U_{1}(P,Q)=1 $ (ונוסחת הנסיגה $ \ U_{n}=PU_{n-1}(P,Q)-QU_{n-2}(P,Q) $) נקראת סדרת לוקאס מהסוג הראשון, וסדרת לוקאס עם תנאי ההתחלה $ \ V_{0}(P,Q)=2,V_{1}(P,Q)=P $ (ונוסחת הנסיגה $ \ V_{n}=PV_{n-1}(P,Q)-QV_{n-2}(P,Q) $) נקראת סדרת לוקאס מהסוג השני.
למשל, $ \ U_{n}(1,-1) $ היא סדרת פיבונאצ'י, $ \ V_{n}(1,-1) $ הם מספרי לוקאס, $ \ U_{n}(2,-1) $ היא סדרת פל, $ \ V_{n}(2,-1) $ היא סדרת פל-לוקאס, $ \ U_{n}(3,2) $ הם מספרי מרסן ו-$ U_{n}(6,8)=2^{n-1}\left(2^{n}-1\right) $ היא סדרה בה נמצאים כל המספרים המשוכללים הזוגיים.
נוסחה מפורשת
את נוסחת הנסיגה של סדרת לוקאס אפשר לכתוב בעזרת מטריצות: $ \left({\begin{array}{c}L_{n}\\L_{n-1}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}P&Q\\1&0\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}L_{n-1}\\L_{n-2}\end{array}}\right) $. לכסון המטריצה מאפשר להגיע במהירות לנוסחה מפורשת של האיבר הכללי, התלויה בערכי ההתחלה. המשוואה האופיינית של סדרת לוקאס היא $ x^{2}-Px+Q=0\, $. נסמן את הדיסקרימיננטה $ \ D=P^{2}-4Q $, לפי נוסחת השורשים פתרון המשוואה הוא:
- $ a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}\, $
ולכן אם שני השורשים שונים אז
- $ U_{n}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D}}} $ ו-
- $ V_{n}=a^{n}+b^{n}\, $
ואם שני השורשים זהים, $ U_{n}=nS^{n-1}\, $ ו- $ V_{n}=2S^{n}\, $ כאשר מתקיים ש-$ \ S={\sqrt {Q}}={\tfrac {P}{2}} $.
זהויות
סדרות לוקאס משני הסוגים עם אותם פרמטרים קשורות ביניהן בכמה זהויות בסיסיות. להלן טבלת זהויות עם המקרה הפרטי של סדרת פיבונאצ'י ומספרי לוקאס כדוגמה.
$ F_{n}=U_{n}(1,-1) $, $ L_{n}=V_{n}(1,-1) $.
| זהות כללית | מקרה פרטי |
|---|---|
| $ (P^{2}-4Q)U_{n}={V_{n+1}-QV_{n-1}}=2V_{n+1}-PV_{n}\, $ | $ 5F_{n}={L_{n+1}+L_{n-1}}=2L_{n+1}-L_{n}\, $ |
| $ V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}\, $ | $ L_{n}=F_{n+1}+F_{n-1}=2F_{n+1}-F_{n}\, $ |
| $ U_{2n}=U_{n}V_{n}\, $ | $ F_{2n}=F_{n}L_{n}\, $ |
| $ V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}\, $ | $ L_{2n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}\, $ |
| $ U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_{n}}{2}}\, $ | $ F_{n+m}=F_{n}F_{m+1}+F_{m}F_{n-1}={\frac {F_{n}L_{m}+F_{m}L_{n}}{2}}\, $ |
| $ V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}\, $ | $ L_{n+m}=L_{n}L_{m}-(-1)^{m}L_{n-m}\, $ |
קישורים חיצוניים
- סדרת לוקאס, באתר MathWorld (באנגלית)
סדרת לוקאס34015990Q1759646