במתמטיקה, סדרת לוקאס היא סדרה של מספרים שלמים שאיבריה מקיימים נוסחת נסיגה מהצורה
, כאשר
ו-
קבועים. דוגמאות מוכרות לסדרות לוקאס הן סדרת פיבונאצ'י, מספרי מרסן, מספרי לוקאס וסדרת פל. הסדרות נקראות על שם אדוארד לוקאס, דוגמה: 1,3,4,7,11,18,29......
הגדרה פורמלית
לאחר בחירת הקבועים P,Q, סדרת לוקאס מוגדרת באמצעות נוסחת הנסיגה
, ותנאי ההתחלה הקובעים את
. בפרט, סדרות לוקאס עם תנאי ההתחלה
(ונוסחת הנסיגה
) נקראת סדרת לוקאס מהסוג הראשון, וסדרת לוקאס עם תנאי ההתחלה
(ונוסחת הנסיגה
) נקראת סדרת לוקאס מהסוג השני.
למשל,
היא סדרת פיבונאצ'י,
הם מספרי לוקאס,
היא סדרת פל,
היא סדרת פל-לוקאס,
הם מספרי מרסן ו-
היא סדרה בה נמצאים כל המספרים המשוכללים הזוגיים.
נוסחה מפורשת
את נוסחת הנסיגה של סדרת לוקאס אפשר לכתוב בעזרת מטריצות:
. לכסון המטריצה מאפשר להגיע במהירות לנוסחה מפורשת של האיבר הכללי, התלויה בערכי ההתחלה. המשוואה האופיינית של סדרת לוקאס היא
. נסמן את הדיסקרימיננטה
, לפי נוסחת השורשים פתרון המשוואה הוא:
![{\displaystyle a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3398fc4ebf7c7e2f147e065e53703c7396e223b7)
ולכן אם שני השורשים שונים אז
ו-
![{\displaystyle V_{n}=a^{n}+b^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a06a80b8357f9eb3986899dbfc3dc2bd48aed4)
ואם שני השורשים זהים,
ו-
כאשר מתקיים ש-
.
זהויות
סדרות לוקאס משני הסוגים עם אותם פרמטרים קשורות ביניהן בכמה זהויות בסיסיות. להלן טבלת זהויות עם המקרה הפרטי של סדרת פיבונאצ'י ומספרי לוקאס כדוגמה.
,
.
זהות כללית |
מקרה פרטי
|
![{\displaystyle (P^{2}-4Q)U_{n}={V_{n+1}-QV_{n-1}}=2V_{n+1}-PV_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e931a2ed0c4bfc922ea1d503c007987f96a865fa) |
|
![{\displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7846800c785a20abce0565cafa13c641116bd04) |
|
![{\displaystyle U_{2n}=U_{n}V_{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9adde5d65eb6660c87ebed9dc30aa5178f475525) |
|
![{\displaystyle V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83fa1c1dc22f2221595f6be1ffb3b43c440654b6) |
|
![{\displaystyle U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_{n}}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6ed5207feda191281a23034f96cdaf70980d448) |
|
![{\displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ed1371042d2c9a3eae3c6fa7fdadabd728a3aee) |
|
קישורים חיצוניים
34015990סדרת לוקאס