משפט ניקומאכוס

משפט ניקומאכוס הוא משפט בתורת המספרים הקובע כי הזהות הבאה מתקיימת לכל מספר טבעי n:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1^3+\cdots+n^3=(1+\cdots+n)^2}

כלומר שסכום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} המספרים הקובייתים הראשונים (חזקות שלישיות) שווה לריבוע סכום $n$ המספרים הראשונים. המשפט נקרא על שם המתמטיקאי היווני בן המאה ה-1, ניקומאכוס, שכתב אודותיו.

היסטוריה

הזהות של ניקומאכוס התגלתה באופן בלתי תלוי פעמים רבות במהלך ההיסטוריה. בין השאר גילו אותה ההודי אריאבהטה (המאה ה-5), הפרסי אל-קאראג'י (המאה ה-10), היהודי הצרפתי רלב"ג (המאה ה-14) וההודי נילקנטה סומיאג'י (המאה ה-15).

תיאור המשפט

מבחינה פורמלית משפט ניקומאכוס קובע שלכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} טבעי מתקיים

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=1}^nk^3=\left(\sum_{k=1}^nk\right)^2}

סכום המספרים הטבעיים מ-1 עד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} נקרא המספר המשולשי ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , שנוסחתו המפורשת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_n=\frac{n(n+1)}2} .

הוכחות

למשפט ניקומאכוס הוכחות רבות. קודם להצגתן נציין שלוש זהויות שישמשו לשם קיצור ואסתטיות. את שלוש הזהויות ניתן להוכיח בפשטות בדרך אלגברית מתוך הנוסחה המפורשת למספר משולשי. עם זאת, לכולן ישנן גם הוכחות גאומטריות וקומבינטוריות.

1. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_n-T_{n-1}=n} (נובע ישירות מההגדרה של מספר משולשי)
2. $T_{n}+T_{n-1}=n^{2}$ (הוכחה גאומטרית)
3. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_n=\binom{n+1}{2}} (הוכחה קומבינטורית; לפשר הסימון ראו מקדם בינומי)

כמו כן נניח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_0=0} (כפי שאכן משתמע מכל הנוסחאות והזהויות).

הוכחה באינדוקציה

ההוכחה הסטנדרטית למשפט היא באינדוקציה. בסיס האינדוקציה טריוויאלי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1^3=1^2} . נניח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_{n-1}^2 = 1^3+2^3+\ldots+(n-1)^3} ונראה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_{n}^2 = 1^3+2^3+\ldots+n^3} :

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle T_{n}^{2}=(T_{n-1}+n)^{2}=T_{n-1}^{2}+2nT_{n-1}+n^{2}=}

נציב את הנחת האינדוקציה ואת הנוסחה למספר משולשי ונקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = (1^3+2^3+\ldots+(n-1)^3) + (n^2(n-1)+n^2) = 1^3+2^3+\ldots+n^3}

כנדרש.

הוכחה באמצעות טור טלסקופי

נבחין בזהות הבאה הנובעת מזהויות (1) ו-(2):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_k^2-T_{k-1}^2 = (T_k+T_{k-1})(T_k-T_{k-1}) = k^2\cdot k = k^3}

כעת נוכל להציג את הסכום המבוקש כטור טלסקופי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=1}^n {k^3} = \sum_{k=1}^n {(T_k^2-T_{k-1}^2)} = T_n^2-T_{n-1}^2 + T_{n-1}^2 -T_{n-2}^2+\ldots-T_0^2 = T_n^2}

הוכחה קומבינטורית

נגדיר קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} שאיבריה הם רביעיות סדורות של מספרים בין 0 ל-n (כולל), כך שהאיבר הרביעי בכל רביעייה גדול ממש משלושת האיברים האחרים. בסימונים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \{(h,i,j,k)| 0\le h,i,j < k \le n\}} . לכל k קבוע, h,i,j נבחרים בחופשיות מבין המספרים מ-0 עד k-1. כלומר יש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k^3} רביעיות כאלו. ובסך הכל בכל הקבוצה A מספר האיברים הוא:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ |A|=\sum _{k=1}^{n}{k^{3}}}

נגדיר עתה קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} שאיבריה הם זוגות סדורים של תת-קבוצות בנות שני איברים של קבוצת המספרים מ-0 עד n. כל תת-קבוצה כזו ניתן לאפיין למעשה כזוג סדור עם המגבלה שהאיברים בזוג שונים והגדול יותר נמצא בימין. כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B = \{((w,x),(y,z))| 0\le w<x\le n, 0\le y<z\le n\}}

B מורכבת מזוגות של תת-קבוצות עם שני איברים הנבחרים בחופשיות, ולכן מהגדרת המקדם בינומי ומזהות (3) נובע:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |B| = \binom {n+1}2^2 = T_n^2}

כעת נציג התאמה חד-חד-ערכית ועל מ-A ל-B:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(h,i,j,k)=\begin{cases}((h,i),(j,k))&\mbox{if }h<i;\\((j,k),(i,h))&\mbox{if }h>i;\\((i,k),(j,k))&\mbox{if }h=i\end{cases}}

הפונקציה בוודאי חד-חד-ערכית, והיא על כי לכל זוג סודר חוקי ניתן לבנות רבייעיה מתאימה.

ההתאמה מעידה כי שתי הקבוצות שוות בגודלן, כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=1}^n {k^3} = |A| = |B| = T_n^2}

הוכחה גאומטרית

בספר "Proofs Without Words"‏ (מסת"ב 978-0-88385-700-7) מובאות שבע הוכחות גאומטריות שונות למשפט. אחת מהן מודגמת באיור הבא:

1³+2³+3³+4³+5³+6³ = (1+2+3+4+5+6)²

בכל צבע צבועים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} ריבועים עם צלע באורך $k$. כלומר כל צבע מכסה שטח השווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k^3} (כאשר במקרים הזוגיים אחד הריבועים מפוצל לשניים). כאשר מסדרים את כל השטחים יחדיו לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1\le k\le n} נוצר ריבוע עם צלע באורך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_n} , ולכן שטחו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_n^2} .

הוכחה נוספת

ראשית נבחין בכך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k^3} הוא הסכום של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} מספרים אי-זוגיים עוקבים שהממוצע החשבוני שלהם הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k^2} . פורמלית: הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sum _{i=T_{k-1}+1}^{T_{k}}{2i-1}=k^{3}} .

כעת נבחן את סכום האי-זוגיים מ-1 עד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2T_n-1} :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{i=1}^{T_n} {2i-1} = \sum_{k=1}^{n}\sum_{i=T_{k-1}+1}^{T_k} {2i-1} = \sum_{k=1}^{n} {k^3}}

למשל סכום האי זוגיים מ-1 עד 19 הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17+19) = 1+8+27+64 = 1^3+2^3+3^3+4^3}

מצד שני את סכום האי-זוגיים מ-1 עד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2T_n-1} ניתן לחשב בעזרת הנוסחה לסכום טור חשבוני (או באמצעות טיעון גאומטרי) ולקבל שהוא שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_n^2} כנדרש.

הכללות

יאקוב ברנולי מצא נוסחה כללית לחישוב סכום חזקות כלשהן של n המספרים הראשונים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=1}^n k^m = \frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^{m}(-1)^i\binom{m+1}{i}B_in^{m+1-i}}

כאשר $B_{i}$ הוא מספר ברנולי ה-i.

כאשר m אי-זוגי, הסכום הוא תמיד פולינום, ללא מקדם חופשי, ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_n} .

קישורים חיצוניים

• שתי הוכחות קומבינטוריות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \sum k^3 = {n+1\choose 2}^2} (באנגלית)
• סכימת מספרים מעוקבים באמצעות ספירת מלבנים (באנגלית)
• הוכחה גאומטרית (באנגלית)