מלכודת פאול

חלקיקי אבק לכודים במלכודת פאול

מלכודת פאול היא מלכודת חלקיקים אלקטרודינמית, שלוכדת חלקיקים טעונים (יונים) באמצעות שדות קוואדרופולים חשמליים. מלכודת זו פותחה על ידי וולפגנג פאול (Wolfgang Paul) ב-1958 בגרמניה; זו זיכתה אותו לימים בפרס נובל לפיזיקה, בשנת 1989. המלכודת התגלתה כיעילה בשימור החלקיקים בתוכה לאורך זמן ועל כן איפשרה את חקירת התנהגות החלקיקים ותכונותיהם.

רקע

תרשים של מלכודת פאול קלאסית. חלקיק בעל מטען חיובי (אדום כהה) מוקף בענן חלקיקים דומים (אדום בהיר). השדה החשמלי E (קווי השדה בצבע תכלת) נוצר על ידי הפעלת מתח אוסילטורי זהה על אלקטרודות a ומתח בעל פאזה הפוכה על האלקטרודה בצורת טבעת - b. תמונות 1 ו-2 מתארות מצבים שונים במהלך מחזור של מתח החילופין AC.

בתכנון הבסיס של מלכודות פאול, ישנן אלקטרודות היוצרות שדה חשמלי בצורת אוכף - כלומר שדה חשמלי שבו בכיוון אחד ישנו מינימום, אך בכיוון הניצב הוא מקסימום. נדמיין אוכף ממשי, אם נניח כדור במרכזו- הוא יתגלגל במורד האוכף. אך אם נסובב את המשטח עליו מונח האוכף בתדירות גבוהה מספיק אז הכדור יתייצב במרכזו תוך כדי ביצוע תנודות קטנות. לכן במקרה שלנו, כאשר מפעילים על אותן אלקטרדות במלכודת מתח המשתנה עם הזמן, המתח גורם לאוכף להסתובב. שיווי המשקל הופך ליציב כאשר תדר הסיבוב של האוכף מתאים למסת החלקיק ומטענו.

התכנון המקורי של פאול נועד ליצור אוכף מדויק, ולכן נקרא כיום מלכודת יונים קוודרופולית (quadrupole ion trap). הוא מבוסס על שתי אלקטרודות בצורת היפרבולה הממוקמות בחלק העליון ובחלק התחתון של המלכודת, ביניהם ישנה אלקטרודה בצורת טבעת. היונים נלכדים בין האלקטרודות על ידי כך שיוצרים מתח משתנה אוסילטורית (AC) ובנוסף מתח קבוע בזמן (DC) בין האלקטרודות ובכך יוצרים בחלל ביניהם שדות חשמליים קוואדרופולים דינמיים. הרעיון הכללי של לכידת יונים על ידי שדות חשמליים אוסילטורים אינו דורש תכנון מדויק מאוד של המלכודת וישנן גאומטריות רבות המאפשרות לכידה ומשמשות לשימושים שונים.

ניתוח מתמטי

מבנה המלכודת

על מנת ללכוד חלקיקים במלכודת איזוטרופית והרמונית יש להפעיל כח מהצורה $\,F=-{c}{r}$ כאשר r הוא המרחק ממרכז המלכודת ו- c הוא קבוע חיובי. כך, ככל שהחלקיק יתרחק, הכח המופעל עליו לכיוון מרכז המלכודת יגדל. כח שכזה נגזר מפוטנציאל מהצורה $\varphi \sim ({\alpha }{x^{2}}+{\beta }{y^{2}}+{\gamma }{z^{2}})$ . ניתן ליצור פוטנציאל מהצורה הזו על ידי שדות מולטיפולים חשמליים ומגנטים דינמיים.

ממשוואת לפלס $\nabla ^{2}\varphi =0$ נקבל ש $\,\alpha +\beta +\gamma =0$

על מנת לקבל פתרון שיתאר פוטנציאל תלת ממדי בעל סימטריה גלילית, נדרוש $\,\alpha ,\beta =-1$ ו- $\,\gamma =2$ אם כן, הפוטנציאל בקאורדינטות גליליות יהיה

$\varphi ={\varphi _{0}}{\frac {{2}{z^{2}}-r^{2}}{{2}{z_{0}^{2}}+r_{0}^{2}}}$

כאשר $2z_{0}^{2}=r_{0}^{2}$

משואות אלה מתארות את צורת האלקטרודות הבונות את המלכודת, $\,r_{0}$ הוא רדיוס האלקטרודה הטבעתית ו- $\,z_{0}$ הוא המרחק בין האלקטרודות ההיפרבוליות. $\varphi _{0}$ הוא הפוטנציאל המופעל על האלקטרודות ובאופן כללי ניתן על ידי $\varphi _{0}=V_{dc}-{V_{ac}}{\cos({\Omega }{t})}$

משוואות התנועה

השדה החשמלי הנגזר מפוטנציאל זה משתנה ליניארית כתלות במרחק:

$E_{z}=-{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}=-{\frac {(V_{dc}-V_{ac}\cos {\Omega t})}{z_{0}^{2}}}z$

$E_{r}=-{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}={\frac {(V_{dc}-V_{ac}\cos {\Omega t})}{2z_{0}^{2}}}r$

מכאן נקבל את משוואות התנועה של חלקיק בעל מסה M ומטען Q:

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {Q}{M}}{\frac {(V_{dc}-V_{ac}\cos {\Omega t})}{z_{0}^{2}}}z=0$

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}+{\frac {Q}{M}}{\frac {(V_{dc}-V_{ac}\cos {\Omega t})}{2z_{0}^{2}}}r=0$

ממשוואות אלה ניתן לראות שהתנועה בציר z נבדלת מהתנועה במישור xy בסימן ובפקטור 2. הסימן מעיד על צורת האוכף ואילו הפקטור 2 יוצר מצב שבו החלקיק "יעדיף" להילכד מאשר לברוח מהמלכודת, כלומר, המדרונות הכולאים יותר "תלולים" מהמדרונות המפזרים.

את משוואות התנועה ניתן לכתוב בצורה כללית, חסרת יחידות בצורה של משוואות מת'יו :

${\frac {d^{2}u}{d\xi ^{2}}}+(a_{u}-2q_{u}\cos {2\xi })u=0$

כאשר u מייצג את z או r, הגודל $\,\xi$ הוא חסר יחידות הנתון על ידי $\,\xi =\Omega t/2$

בנוסף, הגדרנו פרמטרים, אף הם חסרי יחידות:

$a_{z}=-2a_{r}=4{\frac {Q}{M}}{\frac {V_{dc}}{z_{0}^{2}}}{\frac {1}{\Omega ^{2}}}$

$q_{z}=-2q_{r}=2{\frac {Q}{M}}{\frac {V_{ac}}{z_{0}^{2}}}{\frac {1}{\Omega ^{2}}}$

למשוואת מת'יו אין פתרון אנליטי אלא רק נומרי או בעזרת סימולצית מחשב. הפרמטרים a ו- q מאפיינים את המשוואה ומגדירים אזורי יציבות ואי יציבות של פתרון המשוואה.

כיוון שהלכידה נעשית בלחץ אטמוספירי, החיכוך עם האוויר הוא גורם מרכזי בתנועת החלקיקים ובלכידתם. לכן, נוסיף גורם למשוואת התנועה התלוי ליניארית במהירות החלקיקים $\,b{\frac {du}{d\xi }}$ .

ניתוח תנועת החלקיקים

מעתה נתמקד בתנועה על ציר z, התנועה על מישור xy אנלוגית לחלוטין, להבדיל מהפקטור המצוין לעיל. משוואות מת'יו מתארות תנועה המורכבת מתנודות קטנות, $\,\delta (t)$ , בתדירות הזהה לתדירות המתח האוסילטורי, $\,\Omega$ . תנועה זו מכונה micromotion, זוהי תנועת החלקיק סביב נקודת שיווי משקל. בנוסף, המשוואות מתארות תנועה איטית יותר, ${\bar {z}}(t)$ , המכונה secular motion זוהי תנועת החלקיקים לכיוון מרכז המלכודת כתוצאה מהכח המופעל עליהם. ניתן לדמות את תנועת החלקיקים לתנועתה של מטוטלת שתוך כדי תנועה משנה את אורכה בתדירות $\,\Omega$ .

את ה secular motion ניתן לתאר בקירוב כתנועה הרמונית ${\frac {d^{2}{\bar {z}}}{dx^{2}}}\simeq -{\frac {q_{z}^{2}}{2}}{\bar {z}}$ , על כן הפוטנציאל האפקטיבי שמרגיש חלקיק בבור הוא ${\bar {U}}_{eff}={\frac {1}{2}}{\frac {{\bar {\omega }}_{z}^{2}z^{2}}{Q/M}}$ כאשר ${\bar {\omega }}_{z}={\frac {q_{z}\Omega }{2^{3/2}}}$ .