מחלקה מונוטונית
בערך זה |
מחלקה מונוטונית היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות.
משפט המחלקה המונוטונית קובע קשר בין מחלקות מונוטוניות לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט פוביני.
הגדרה
תהי $ X $ קבוצה. משפחה של תתי-קבוצות $ {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(X) $ נקראת מחלקה מונוטונית, אם היא סגורה לאיחוד וחיתוך שרשראות מונוטוניות בנות-מניה, כלומר:
- לכל סדרה $ \left\{E_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {M}} $ המקיימת $ E_{1}\subset E_{2}\subset E_{3}\subset ... $, מתקיים כי $ \bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\in {\mathcal {M}} $.
- לכל סדרה $ \left\{E_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {M}} $ המקיימת $ E_{1}\supset E_{2}\supset E_{3}\supset ... $, מתקיים כי $ \bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\in {\mathcal {M}} $.
משפט המחלקה המונוטונית
תהי $ X $ קבוצה ותהי $ P\subset {\mathcal {P}}(X) $ משפחה כלשהי של תתי-קבוצות.
נסמן את המחלקה המונוטונית הנוצרת על ידי $ P $ להיות $ {\mathcal {C}}(P) $, ונסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי $ P $ להיות $ \sigma (P) $. לא קשה לראות כי $ {\mathcal {C}}(P) $ היא חיתוך כל המחלקות המונוטוניות המכילות את $ P $ וכי $ \sigma (P) $ היא חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את $ P $.
משפט: תהי $ {\mathcal {A}} $ אלגברה של קבוצות על קבוצה $ X $ (כלומר $ {\mathcal {A}} $ משפחה הסגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים). אזי $ {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})=\sigma ({\mathcal {A}}) $.
הוכחה
ברור שכל סיגמא-אלגברה היא מחלקה מונוטונית, ולכן ודאי $ {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset \sigma ({\mathcal {A}}) $. כדי להראות את ההכלה ההפוכה די להראות כי $ {\mathcal {C}}(A) $ מהווה סיגמא-אלגברה בעצמה.
לא קשה לראות שאם מחלקה מונוטונית היא אלגברה, אז היא גם סיגמא-אלגברה, ולכן די להראות כי $ {\mathcal {C}}(A) $ היא אלגברה. אם כך נראה כי היא סגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים.
תהי $ E\in {\mathcal {C}}(A) $. נגדיר $ {\mathcal {R}}(E)=\left\{F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})|F\cap E,F\cap E^{\complement },F^{\complement }\cap E\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\right\} $. לא קשה לראות כי $ {\mathcal {R}}(E) $ מהווה מחלקה מונוטונית וכן כי $ \emptyset ,E\in {\mathcal {R}}(E) $ מהיות $ {\mathcal {A}} $ אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי לכל $ E_{1},E_{2}\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}}) $ מתקיים $ E_{1}\in {\mathcal {R}}(E_{2})\iff E_{2}\in {\mathcal {R}}(E_{2}) $.
לכל $ E\in {\mathcal {A}} $, לכל $ B\in {\mathcal {A}} $ מתקיים כי $ B\in {\mathcal {R}}(E) $ מהיות $ {\mathcal {A}} $ אלגברה. לכן נובע כי $ {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {R}}(E) $. נזכור כי $ {\mathcal {R}}(E) $ מהווה מחלקה מונוטונית, ולכן נסיק כי $ {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(E) $.
אם כך לכל $ F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}}) $ מתקיים $ F\in {\mathcal {R}}(E) $, ובאופן שקול $ E\in {\mathcal {R}}(F) $, ולכן נובע כי גם $ {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(F) $ לכל $ F\in {\mathcal {R}}(E) $.
אם כך לכל $ E,F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}}) $ מתקיים $ {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(E),{\mathcal {R}}(F) $, כלומר $ F\cap E,F\cap E^{\complement },F^{\complement }\cap E\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}}) $, ולכן $ {\mathcal {C}}({\mathcal {A}}) $ סגורה למשלים.
לסיום, קל לראות שמחלקה מונוטונית הסגורה למשלים סגורה גם לאיחודים סופיים, ועל כן $ {\mathcal {C}}({\mathcal {A}}) $ מהווה אלגברה.
משפט המחלקה המונוטונית לפונקציות
משפט: תהי $ {\mathcal {A}} $ מערכת-π ותהי $ \Omega $ קבוצה השייכת ל-$ {\mathcal {A}} $, ותהי $ {\mathcal {H}} $ משפחה של פונקציות $ \Omega \to \mathbb {R} $, המקיימת את שלוש התכונות הבאות:
- לכל $ A\in {\mathcal {A}} $ מתקיים $ 1_{A}\in {\mathcal {H}} $, כאשר $ 1_{A} $ היא הפונקציה המציינת.
- אם $ f,g\in {\mathcal {H}} $ אז $ f+g\in {\mathcal {H}} $ וכן $ cf\in {\mathcal {H}} $ לכל $ c\in \mathbb {R} $.
- לכל סדרה מונוטונית עולה של פונקציות אי-שליליות $ \left\{f_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {H}} $ המתכנסת לפונקציה גבולית $ f $, מתקיים $ f\in {\mathcal {H}} $.
אזי $ {\mathcal {H}} $ מכילה את כל הפונקציות החסומות והמדידות ביחס לסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי $ {\mathcal {A}} $.
הוכחה
הוכחה זו מבוססת על משפט π−λ.
ההנחה כי $ \Omega \in {\mathcal {A}} $ יחד עם תכונות 2,3 גוררת כי המשפחה $ {\mathcal {G}}=\left\{A|1_{A}\in {\mathcal {H}}\right\} $ מהווה מערכת-λ.
מתכונה 1 וממשפט π−λ נובע כי $ \sigma ({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {G}} $.
תכונה 2 מראה כי $ {\mathcal {H}} $ מכילה את כל הפונקציות הפשוטות, ומתכונה 3 נובע כי היא מכילה את כל הפונקציות המדידות והחסומות, שכן כל פונקציה מדידה וחסומה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות.
