מחלקה מונוטונית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

מחלקה מונוטונית היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות.

משפט המחלקה המונוטונית קובע קשר בין מחלקות מונוטוניות לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט פוביני.

הגדרה

תהי $X$ קבוצה. משפחה של תתי-קבוצות ${\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ נקראת מחלקה מונוטונית, אם היא סגורה לאיחוד וחיתוך שרשראות מונוטוניות בנות-מניה, כלומר:

1. לכל סדרה $\left\{E_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {M}}$ המקיימת $E_{1}\subset E_{2}\subset E_{3}\subset ...$, מתקיים כי $\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\in {\mathcal {M}}$.
2. לכל סדרה $\left\{E_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {M}}$ המקיימת $E_{1}\supset E_{2}\supset E_{3}\supset ...$, מתקיים כי $\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\in {\mathcal {M}}$.

משפט המחלקה המונוטונית

תהי $X$ קבוצה ותהי $P\subset {\mathcal {P}}(X)$ משפחה כלשהי של תתי-קבוצות.

נסמן את המחלקה המונוטונית הנוצרת על ידי $P$ להיות ${\mathcal {C}}(P)$, ונסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי $P$ להיות $\sigma (P)$. לא קשה לראות כי ${\mathcal {C}}(P)$ היא חיתוך כל המחלקות המונוטוניות המכילות את $P$ וכי $\sigma (P)$ היא חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את $P$.

משפט: תהי ${\mathcal {A}}$ אלגברה של קבוצות על קבוצה $X$ (כלומר ${\mathcal {A}}$ משפחה הסגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים). אזי ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})=\sigma ({\mathcal {A}})$.

הוכחה

ברור שכל סיגמא-אלגברה היא מחלקה מונוטונית, ולכן ודאי ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset \sigma ({\mathcal {A}})$. כדי להראות את ההכלה ההפוכה די להראות כי ${\mathcal {C}}(A)$ מהווה סיגמא-אלגברה בעצמה.

לא קשה לראות שאם מחלקה מונוטונית היא אלגברה, אז היא גם סיגמא-אלגברה, ולכן די להראות כי ${\mathcal {C}}(A)$ היא אלגברה. אם כך נראה כי היא סגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים.

תהי $E\in {\mathcal {C}}(A)$. נגדיר ${\mathcal {R}}(E)=\left\{F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})|F\cap E,F\cap E^{\complement },F^{\complement }\cap E\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\right\}$. לא קשה לראות כי ${\mathcal {R}}(E)$ מהווה מחלקה מונוטונית וכן כי $\emptyset ,E\in {\mathcal {R}}(E)$ מהיות ${\mathcal {A}}$ אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי לכל $E_{1},E_{2}\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ מתקיים $E_{1}\in {\mathcal {R}}(E_{2})\iff E_{2}\in {\mathcal {R}}(E_{2})$.

לכל $E\in {\mathcal {A}}$, לכל $B\in {\mathcal {A}}$ מתקיים כי $B\in {\mathcal {R}}(E)$ מהיות ${\mathcal {A}}$ אלגברה. לכן נובע כי ${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {R}}(E)$. נזכור כי ${\mathcal {R}}(E)$ מהווה מחלקה מונוטונית, ולכן נסיק כי ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(E)$.

אם כך לכל $F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ מתקיים $F\in {\mathcal {R}}(E)$, ובאופן שקול $E\in {\mathcal {R}}(F)$, ולכן נובע כי גם ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(F)$ לכל $F\in {\mathcal {R}}(E)$.

אם כך לכל $E,F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ מתקיים ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(E),{\mathcal {R}}(F)$, כלומר $F\cap E,F\cap E^{\complement },F^{\complement }\cap E\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$, ולכן ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ סגורה למשלים.

לסיום, קל לראות שמחלקה מונוטונית הסגורה למשלים סגורה גם לאיחודים סופיים, ועל כן ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ מהווה אלגברה.

משפט המחלקה המונוטונית לפונקציות

משפט: תהי ${\mathcal {A}}$ מערכת-π ותהי $\Omega$ קבוצה השייכת ל-${\mathcal {A}}$, ותהי ${\mathcal {H}}$ משפחה של פונקציות $\Omega \to \mathbb {R}$, המקיימת את שלוש התכונות הבאות:

1. לכל $A\in {\mathcal {A}}$ מתקיים $1_{A}\in {\mathcal {H}}$, כאשר $1_{A}$ היא הפונקציה המציינת.
2. אם $f,g\in {\mathcal {H}}$ אז $f+g\in {\mathcal {H}}$ וכן $cf\in {\mathcal {H}}$ לכל $c\in \mathbb {R}$.
3. לכל סדרה מונוטונית עולה של פונקציות אי-שליליות $\left\{f_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {H}}$ המתכנסת לפונקציה גבולית $f$, מתקיים $f\in {\mathcal {H}}$.

אזי ${\mathcal {H}}$ מכילה את כל הפונקציות החסומות והמדידות ביחס לסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי ${\mathcal {A}}$.

הוכחה

הוכחה זו מבוססת על משפט π−λ.

ההנחה כי $\Omega \in {\mathcal {A}}$ יחד עם תכונות 2,3 גוררת כי המשפחה ${\mathcal {G}}=\left\{A|1_{A}\in {\mathcal {H}}\right\}$ מהווה מערכת-λ.

מתכונה 1 וממשפט π−λ נובע כי $\sigma ({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {G}}$.

תכונה 2 מראה כי ${\mathcal {H}}$ מכילה את כל הפונקציות הפשוטות, ומתכונה 3 נובע כי היא מכילה את כל הפונקציות המדידות והחסומות, שכן כל פונקציה מדידה וחסומה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0