מערכת דינקין
בערך זה |
מערכת דינקין היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות. מערכות אלו נקראות על שמו של המתמטיקאי הרוסי יוג'ין דינקין.
משפט π−λ קובע קשר בין מערכות דינקין לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט המחלקה המונוטונית.
הגדרות
תהי $ X $ קבוצה.
- משפחה של תת-קבוצות $ {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}(X) $ נקראת מערכת-π, אם לכל $ A,B\in {\mathcal {E}} $ מתקיים $ A\cap B\in {\mathcal {E}} $.
- משפחה של תת-קבוצות $ {\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {P}}(X) $ נקראת מערכת-λ (או מערכת דינקין), אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים:
- $ X\in {\mathcal {L}} $
- לכל $ A,B\in {\mathcal {L}} $ המקיימות $ A\subseteq B $, מתקיים $ B\setminus A\in {\mathcal {L}} $.
- לכל סדרה $ \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {L}} $ המקיימת $ A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq ... $, מתקיים כי $ \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {L}} $.
יחד, התכונות האלה מרכיבות את המושג סיגמא אלגברה: משפחה של תת-קבוצות היא סיגמא-אלגברה, אם ורק אם היא גם מערכת-π וגם מערכת-λ.
תהי $ P\subseteq {\mathcal {P}}(X) $ משפחה כלשהי של תתי-קבוצות.
- נסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי $ P $ להיות $ \sigma (P) $. זהו חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את $ P $.
- נסמן את המערכת-λ הנוצרת על ידי $ P $ להיות $ \lambda (P) $. זהו חיתוך כל המערכות-λ המכילות את $ P $.
משפט π−λ
משפט: תהי $ X $ קבוצה ותהי $ {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}(X) $ מערכת-π. אזי $ \sigma ({\mathcal {E}})=\lambda ({\mathcal {E}}) $.
נשים לב שכל סיגמא-אלגברה היא בפרט גם מערכת-λ, ולכן ברור כי לכל משפחה של תתי-קבוצות $ P\subset {\mathcal {P}}(X) $ מתקיים $ \lambda (P)\subset \sigma (P) $. משפט π−λ מוסיף כי אם $ P $ היא מערכת-π, אז $ \lambda (P) $ היא למעשה סיגמא-אלגברה.
הוכחה
- נראה כי $ \lambda ({\mathcal {E}}) $ סגורה לחיתוך.
- למה: לכל $ E\in {\mathcal {E}} $ נגדיר $ {\mathcal {L}}_{E}=\left\{A\subseteq X|A\cap E\in \lambda ({\mathcal {E}})\right\} $. אזי $ {\mathcal {L}}_{E} $ היא מערכת-λ המכילה את $ {\mathcal {E}} $.
- הוכחת הלמה: ברור כי $ {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {L}}_{0} $. נראה כי היא מערכת-λ.
- ברור כי $ X\in {\mathcal {L}}_{E} $. יהיו $ A,B\in {\mathcal {L}}_{E} $ המקיימות $ A\subseteq B $. מתקיים כי $ E\cap (B\setminus A)=(E\cap B)\setminus (E\cap A) $, וזהו הפרש של שתי קבוצות השייכות ל-$ \lambda ({\mathcal {E}}) $, לכן $ B\setminus A\in {\mathcal {L}}_{E} $. בהינתן סדרה $ \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {L}}_{E} $ העולה ביחס להכלה, אז ברור כי $ E\cap (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\bigcup _{i=1}^{\infty }(E\cap A_{i}) $, לכן $ \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {L}}_{E} $.
- מסקנה: $ \lambda ({\mathcal {E}}) $ סגורה לחיתוכים סופיים.
- הוכחת המסקנה: מהלמה נובע שלכל $ E\in \lambda ({\mathcal {E}}) $ מתקיים כי $ {\mathcal {L}}_{E} $ היא מערכת-λ המכילה את $ E $, לכן נובע כי $ \lambda ({\mathcal {E}})\subseteq {\mathcal {L}}_{E} $.
- יהיו $ A,B\in \lambda ({\mathcal {E}}) $. נגדיר $ {\mathcal {L}}_{A}=\left\{B\subseteq X|B\cap A\in \lambda ({\mathcal {E}})\right\} $. באופן דומה להוכחת הלמה ניתן להראות כי $ {\mathcal {L}}_{A} $ היא מערכת-λ המכילה את $ {\mathcal {E}} $, ומכך נובע כמו קודם כי $ \lambda ({\mathcal {E}})\subseteq {\mathcal {L}}_{A} $, כלומר לכל $ B\in \lambda ({\mathcal {E}}) $ מתקיים $ A\cap B\in \lambda ({\mathcal {E}}) $.
- נסיק כי $ \lambda ({\mathcal {E}}) $ היא סיגמא-אלגברה.
- סגירות למשלים: תהי $ A\in \lambda ({\mathcal {E}}) $. מהיות $ \lambda ({\mathcal {E}}) $ מערכת-λ נובע כי $ X\in \lambda ({\mathcal {E}}) $, ולכן גם $ A^{\complement }=X\setminus A\in \lambda ({\mathcal {E}}) $.
- סיגמא אדיטיביות: תהי $ \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subseteq \lambda ({\mathcal {E}}) $. נציג $ \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=\bigcup _{N=1}^{\infty }\bigcup _{i=1}^{N}A_{i} $, וברור כי הסדרה $ \left\{\bigcup _{i=1}^{N}A_{i}\right\}_{N=1}^{\infty } $ עולה ביחס להכלה, ולכן $ \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in \lambda ({\mathcal {E}}) $.
שימוש יסודי
משפט π−λ מספק כלי חזק לזיהוי של מידות ולאפיונן. מידה היא סיגמא-סופית אם המרחב מהווה איחוד בן-מניה של קבוצות בעלות מידה סופית.
טענה: תהי $ {\mathcal {E}} $ מערכת-π על מרחב X, ויהי $ (X,\,\sigma ({\mathcal {E}})) $ המרחב המדיד הנוצר על-ידה. תהי $ \mu $ מידה סיגמא-סופית על המרחב הזה כך שקיימת לפחות קבוצה אחת $ E\in {\mathcal {E}} $ המקיימת $ \mu (E)<\infty $. אזי המידה $ \mu $ נקבעת ביחידות על כל $ \sigma ({\mathcal {E}}) $, על-פי ערכיה על $ {\mathcal {E}} $.
בפרט למשל עבור המרחב $ \mathbb {R} ^{n} $ יחד עם סיגמא-אלגברת בורל שלו, מידה נקבעת באופן יחיד באמצעות ערכיה על התיבות. כלומר, קיימת מידה יחידה $ \mu $ על $ \mathbb {R} ^{n} $ שמקיימת:
$ \mu ([a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times ...\times [a_{n},b_{n}])=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\cdot ...\cdot (b_{n}-a_{n}) $
לכל $ a_{i}\leq b_{i}\in \mathbb {R} $ עבור $ 1\leq i\leq n $.
הוכחה: יהיו $ \mu _{1},\mu _{2} $ זוג מידות המזדהות על המערכת-π $ {\mathcal {E}} $. נקבע $ E\in {\mathcal {E}} $ המקיימת $ \mu _{1}(E)<\infty $. נסמן $ {\mathcal {L}}_{E}=\left\{A\in \sigma \left({\mathcal {E}}\right)|\mu _{1}(A\cap E)=\mu _{2}(A\cap E)\right\} $. ניתן להראות כי זו מערכת-λ המכילה את $ {\mathcal {E}} $, ולכן ממשפט π−λ נובע כי היא מכילה את $ \lambda ({\mathcal {E}})=\sigma ({\mathcal {E}}) $. כעת השוויון הכללי לקבוצה מדידה כלשהי $ F\in \sigma ({\mathcal {E}}) $ נובע מסיגמא-אדיטיביות ומרציפות המידות, תוך שימוש בשרשרת המכסה את המרחב:
$ \mu _{1}(F)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{1}(F\cap E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu _{1}(F\cap E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu _{2}(F\cap E_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{2}(F\cap E_{i})=\mu _{2}(F) $
מערכת דינקין35953912Q1935689