מונה מדיד

בתורת הקבוצות, מונה מדיד הוא סוג מרכזי של מונה גדול.

הגדרה

• מונה κ ייקרא מונה מדיד אם κ אינו בן מניה, וקיים על מסנן κ-שלם לא ראשי על κ. בניסוח שקול - מונה הוא מדיד אם קיימת מידה κ-אדיטיבית לא טריוויאלית המקבלת את הערכים {0,1} בלבד.
• מונה κ ייקרא מונה מדיד ממשי (Real-valued measurable cardinal) אם κ אינו בן מניה, וקיימת מידה κ-אדיטיבית לא טריוויאלית על κ.

היסטוריה

מושג המונה המדיד הוגדר בשנת 1930 על ידי אולם, בהקשר לתורת המידה שפותחה אז על ידי לבג.

כאשר לבג פיתח את תורת המידה, הוא העלה את השאלה הבאה: האם ייתכן שכל תתי הקבוצות של הממשיים יהיו מדידות? שאלה זו זכתה במהרה לתשובה שלילית על ידי משפט ויטלי, עבור מידת לבג (כלומר מידה שהיא אינווריאנטית להזזות).

בעקבות זאת, בנך העלה את השאלה הבאה: עבור קבוצה S כלשהי, האם קיימת מידה שמוגדרת על כל תת-הקבוצות של S, שהיא סיגמא-אדיטיבית ומתאפסת על כל יחידון? ברור שתשובה לשאלה הזו תלויה רק בעוצמה של S, ולא במבנה הפנימי שלה. אולם הראה שעבור מונה κ, אם קיימת עליו מידה כזו, אז הוא בהכרח אי-נשיג חלש (הוכחה זו משתמשת באקסיומת הבחירה). יתר על כן הוא הראה שבמונה הראשון בו יש מידה כזו, המידה היא κ-אדיטיבית (כלומר לכל אוסף קטן מ-κ של תתי קבוצות זרות, רק אוסף בן מנייה של קבוצות מתוכו הוא בעל מידה חיובית ומידת האיחוד היא סכום המידות).

בהמשך, אולם פיצל את האפשרויות לגבי אופי המידה לשני מקרים: אם המידה היא חסרת אטומים או שיש למידה אטום. במקרה הראשון הוא הראה כי $\kappa \leq 2^{\aleph _{0}}$ ובמקרה השני הוא הראה שיש מידה על κ שמקבלת רק את הערכים {0,1}, וש-κ הוא אי-נשיג חזק. המקרה הראשון נקרא מונה מדיד ממשי והמקרה השני נקרא מונה מדיד.

קל להראות כי מונה מדיד הוא אי נשיג חזק - אם $\lambda <\kappa ,2^{\lambda }\geq \kappa$ אז יש אוסף: $\{f_{\alpha }|f_{\alpha }:\lambda \rightarrow 2\,,\,\alpha <\kappa \}$ של פונקציות שונות. נסמן $\epsilon _{i}=m(\{\alpha <\kappa |f_{\alpha }(i)=1\})$ ונקבל כי מצד אחד: $m(\{\alpha |\forall if_{\alpha }(i)=\epsilon _{i}\})=1$ (מה-κ שלמות - כי זה חיתוך של פחות מ-κ קבוצות ממידה 1) ומצד שני קבוצה זו מכילה לכל היותר איבר אחד, ולכן קיבלנו סתירה.

במשך תקופה ארוכה לא היה ידוע האם ייתכן שהאי-נשיג הראשון יהיה מדיד. רק לאחר התוצאות על מונים קומפקטיים חלשים היה ניתן להראות כי מתחת למונה המדיד הראשון יש אי-נשיגים רבים.

הפער חודד בעקבות העבודה של סקוט בשנות ה-60 על שימוש במונים מדידים כדי לייצר מודל פנימי באמצעות לקיחת על-חזקה של V, עם על-המסנן שמוגדר על המונה המדיד. כיוון שעל המסנן הוא סיגמה-שלם - על החזקה יוצאת מבוססת היטב (כלומר אין בה סדרת $\in$ יורדת אינסופית) ולכן היא איזומורפית למחלקה טרנזיטיבית M שמכילה את כל הסודרים. מתוך שיטה זו נובע כי יש מידת 0-1 על κ בה אוסף כל האי-נשיגים, אוסף כל הקומפקטיים-חלש (ואף מונים עם תכונות חזקות יותר) הם ממידה 1.

סולוביי הראה בשנות ה-70 כי אם κ הוא מדיד אז על ידי כפייה ניתן לייצר מודל בו κ הוא מדיד ממשית, וכן שאם κ מדיד ממשית אז יש מודל פנימי בו הוא מדיד, ובכך הוא הראה שחוזק ההתיישבות של שני המושגים הוא זהה - כלומר ניתן להראות שטענה היא עקבית בהנחה שקיים מונה מדיד אם ורק אם ניתן להראות כי היא עקבית בהנחה שקיים מדיד ממשית.

תכונות של מונים מדידים

• ההנחה שקיים מונה מדיד גוררת את שלילת אקסיומת הקונסטרוקטיביליות (דנה סקוט). תוצאה זו הייתה התוצאה הראשונה שהדגימה את ההגבלה שמטילה האקסיומה V=L על גודלי המונים הגדולים.
• מונה κ הוא מונה מדיד אם ורק אם κ הוא נקודה קריטית של שיכון אלמנטרי $\ j:V\rightarrow M$ (כאשר השיכון גדיר מתוך איברים של V). עבור שיכון אלמנטרי j האוסף: $U=\{X\subset \kappa |\kappa \in j(X)\}$ הוא על-מסנן κ-שלם נורמלי.
• כל מונה מדיד הוא בלתי נשיג (לכן הוא מונה גדול). בנוסף, κ מקיים את תכונת העץ, לכן κ הוא מונה קומפקטי חלש - כי עבור כל עץ בגובה κ שכל רמה בו היא בעלת פחות מ-κ איברים - אנחנו יכולים לבנות באינדוקציה ענף: בכל שלב נבחר את הקודקוד שמידת הקודקודים שמתחתיו בעץ היא 1. יש בדיוק קודקוד יחיד כזה, ומ-κ שלמות תמיד מידת קבוצת האיברים שנמצאים מתחת לכל האיברים שבחרנו בשלב ביניים כלשהו היא 1, ולכן ניתן להמשיך בתהליך.
• $<V_{\kappa +1},\in >\approx \prod _{\alpha }<V_{\alpha +1},\in >/U$, כאשר U על-מסנן κ שלם ונורמלי. כלומר $V_{\kappa +1}$ איזומורפית לעל-מכפלה של הרישות הקטנות יותר $V_{\alpha +1}$. בפרט, כל תכונה שניתן לנסח על κ במסגרת $V_{\kappa +1}$ מתקיימת גם בקבוצה ממידה 1 של סודרים מתחתיו - בפרט יש קבוצה ממידה 1 של קומפקטיים-חלש מתחת המדיד וכן הלאה.
• במודל ללא אקסיומת הבחירה, מונה מדיד לא חייב להיות אי-נשיג. למשל במודל של אקסיומת ההכרעה (כלומר שכל משחק על הממשיים מוכרע), מתקיים שאוסף הקבוצות הסגורות והלא-חסומות ב-$\omega _{1}$ יוצר על מסנן (סיגמא-שלם), כלומר $\aleph _{1}$ מדיד.

על מסננים נורמליים

על מסנן U ייקרא נורמלי אם מתקיימת בו גרסה של למת פודור: אם $f:\kappa \rightarrow \kappa$ מקיימת $\forall \alpha \in A,\,f(\alpha )<\alpha$ ו-A קבוצה ממידה 1 אז יש קבוצה B ממידה 1 בה f קבועה.

דרך נוספת לאפיין את תכונת הנורמליות, היא באופן הבא: על מסנן U הוא נורמלי אם מתקיים $[id]_{U}=\kappa$ (כאשר $id:\kappa \rightarrow \kappa$, $id(\alpha )=\alpha$ ו-$[id]_{U}$ היא מחלקת השקילות של הפונקציה id כאיבר של על-החזקה, אותה זיהינו עם M). כיוון שכל ערכי id הם סודרים, לפי משפט Łoś, גם $[id]_{U}$ הוא סודר בעל חזקה, וכיוון שהיא מבוססת היטב - הוא סודר ב-V. באופן כללי, תמיד יתקיים כי $[id]_{U}\geq \kappa$, ולכן אפשר לחשוב על הנורמליות כתכונת מזעור.

נעיר כי על מסננים נורמליים מתקבלים באופן טבעי מתוך שיכונים אלמנטריים, כמו שציינו קודם: $U=\{X\subset \kappa |\kappa \in j(X)\}$ הוא על מסנן נורמלי.

אם U על מסנן נורמלי, נוכל להשתמש במשפט Łoś כדי להשיג מגוון של תוצאות השתקפות, כלומר תוצאות המראות כי אם המונה המדיד מקיים תכונה מסוימת אז קיימת קבוצה ממידה 1 מתחתיו (ובפרט לא חסומה) המקיימת את אותה תכונה. נדגים זאת לגבי קומפקטיות חלשה: ראינו כי כל מונה מדיד κ הוא קומפקטי-חלש. נסתכל על המונה κ ב-M. גם שם הוא קומפקטי חלש, כיוון ש-M מכיל את כל תתי הקבוצות של κ (מ-V). כיוון שכל עץ ניתן לייצג כתת-קבוצה של κ וחשוב יותר - כל ענף ניתן לייצוג כזה, נקבל כי גם ב-M מתקיימת תכונת העץ ב-κ. כעת, κ מיוצג על ידי הפונקציה id ולכן לפי משפט Łoś: על קבוצה ממידה 1 של סודרים, $id(\alpha )$, כלומר $\alpha$ יקיים את תכונת העץ ב-V.

סדר מיטשל של מונה מדיד

עבור מונה מדיד κ, אין הכרח שב-M, עדיין κ יהיה מדיד. למעשה, מהסעיף הקודם, אם זה נכון אז בהכרח יש מתחת ל-κ קבוצה ממידה 1 של מדידים, כלומר זו הנחה שהיא חזקה יותר ממדידות. אם זה קורה נאמר של-κ יש סדר מיטשל 2 (2 Mitchell order).

באופן כללי, נגדיר יחס סדר חלקי על אוסף העל-מסננים הנורמליים של κ, על ידי $U_{1}<U_{2}\iff U_{1}\in Ult_{U_{2}}(V)$ כאשר $Ult_{U}(V)$ הוא על החזקה של V לפי על-המסנן U. יחס זה הוא מבוסס היטב (כלומר אין בו ענף יורד אינסופי) ולכן ניתן לדבר על הגובה שלו:

$o(U)=sup\{o(U')+1|U'<U\},\,o(\kappa )=sup\{o(U)+1\}$

$o(\kappa )$ נקרא הסדר של κ, והוא חסום על ידי $(2^{\kappa })^{+}$. תחת השערת הרצף המוכללת, סדר מיטשל של κ הוא לכל היותר ⁺⁺κ.

לקריאה נוספת

• Set theory, third millennium edition - Thomas Jech, Springer 2002
• The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings, 2nd ed - Akihiro Kanamori, Springer 2003