כאוס קוונטי

כאוס קוונטי הוא ענף של תורת הגלים, בפרט מכניקה קוונטית, העוסק במערכות בהן הדינמיקה של קרניים, הנקבעת מעקרון פרמה (או עקרון הפעולה המינימלית) היא דינמיקה כאוטית. מוקד העניין בתחום הוא להבין כיצד בא הכאוס לידי ביטוי בתכונות המערכת הקוונטית, כמו למשל צפיפות המצבים, המוליכות, והמגנטיזציה.

ישנן ארבע גישות עיקריות לטיפול במערכות כאוטיות קוונטיות:

• הגישה הנומרית
• הגישה הסמיקלאסית
• הגישה הדיאגרמטית
• הגישה הפנומנולוגית

הגישה הנומרית מתבססת על חישובים בעזרת המחשב. בעזרתה נתגלה שלעיתים קרובות לפונקציות גל במערכות כאוטיות יש מעין "צלקות" הנמשכות לאורך המסלולים המחזוריים של המערכת הקלאסית

לפי הגישה הסמיקלאסית, ניתן לקשר תכונות קוונטיות, כמו אלו שהוזכרו למעלה, למסלולים הקלאסיים של המערכת. הנוסחה המרכזית בגישה זו היא נוסחת העקבה של גוצווילר הקושרת בין צפיפות המצבים הקוונטית והמסלולים המחזוריים הקלאסיים של הקרניים.

הגישה הדיאגרמטית דנה בסוג של מערכות כאוטיות לא מסודרות והיא מתבססת על תורת הפרעות שהיא סוג של פיתוח בעוצמת אי-הסדר במערכת. התוצאות העיקריות של גישה זו באו בעיקר לידי ביטוי באפיון תכונות הולכה של מערכות מזוסקופיות בטמפרטורות נמוכות.

תיאור פנומנולוגי סטטיסטי של מערכות כאוטיות קוונטיות נעשה בעזרת תורת המטריצות האקראיות שפותחה על ידי דייסון, ויגנר ומטהה לצורך תיאור התכונות הספקטרליות של גרעינים כבדים המעוררים לרמות אנרגיה גבוהות (ראה פיזיקה גרעינית). בפרט, גישה זו נותנת תיאור סטטיסטי של רמות האנרגיה של מערכות כאוטיות.

כאוס קוונטי והשערת רימן

החלק הדמיוני (איור עליון) והממשי (איור תחתון) של פונקציית זטא של רימן, לאורך הקו Re(s)=1/2

אחת הסיבות שהתחום של כאוס קוונטי משך תשומת לב רבה בשנים האחרונות, היא הקשר שבינו להשערה המפורסמת של רימן. פונקציית זטא של רימן מוגדרת על ידי הסכום:

$$\ \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$$

עבור $\Re s>1$ ועל ידי המשכה אנליטית בכל יתר המרחב המרוכב. לפונקציה זו שני סוגי אפסים: אפסים הממוקמים על הציר הממשי של $s$ בנקודות 2-, 4-, 6-, וכן הלאה, ואפסים הממוקמים במה שקרוי "הרצועה הקריטית", $0<\Re (s)<1$. לפי השערת רימן, אפסים אלה ממוקמים כולם על הישר הקריטי: $\Re s={\frac {1}{2}}$ (לאפסים אלו קוראים האפסים הלא-טריוואליים). הוכחת ההשערה של רימן היא אחד האתגרים הגדולים בתורת המספרים, ואחד הרעיונות בדרך להוכחה הוא למצוא המילטוניאן שהערכים העצמיים שלו הם בדיוק האפסים של הפונקציה. מציאת המלטוניאן כזה תהווה הוכחה של ההשערה. מתברר שאם אכן קיימת מערכת שרמות האנרגיה שלה הם האפסים הלא-טריוואלים של פונקציית זטא אזי היא כנראה מערכת כאוטית. הסיבה לכך היא שההתפלגות הסטיסטית של האפסים זהה להתפלגות הסטסיסטית הנובעת מתורת המטריצות הרנדומית, והיא דומה מאוד, להתפלגות רמות האנרגיה של מערכות כאוטיות. יתרה מזו, ניתן לרשום את פונקציית זטא לאורך הקו הקריטי בצורה זהה לנוסחת העקבה של גוצווילר. מתוך השוואת הנוסחאות אפשר להסיק שאורכי המסלולים המחזורים של המערכת (ללא חזרות) הם בדיוק המספרים הראשוניים, ושהמרחב בעל עקמומיות שלילית קבועה.

למרות שעדיין לא נמצא ההמילטוניאן המבוקש, הקשר בין מערכות כאוטיות ופונקציית זטא, הוביל למספר רב של תובנות והשערות חדשות, בפרט לגבי פונקציות L של דיריכלה.

ראו גם

• השערת רימן

קישורים חיצוניים

• כאוס קוונטי, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

28263784כאוס קוונטי