פונקציות היפרבוליות

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

במתמטיקה, פונקציות היפרבוליות אנלוגיות לפונקציות הטריגונומטריות הרגילות: בעוד שהנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left(\cos\left(t\right),\sin\left(t\right)\right)} יוצרות יחדיו מעגל, הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left(\cosh\left(t\right),\sinh\left(t\right)\right)} מגדירות את החלק הימני של ההיפרבולה $\ x^{2}-y^{2}=1$, ומכאן שמן. הפרמטר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t} הוא זווית היפרבולית המייצגת את כפליים השטח בין ציר ה־X, ההיפרבולה, והקו הישר שמחבר את ראשית הצירים לנקודה על העקום לעיל, כפי שמתואר באיור משמאל.

הגדרת הפונקציות ההיפרבוליות

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

סינוס היפרבולי (sinh), קוסינוס היפרבולי (cosh) וטנגנס היפרבולי (tanh)

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

קוסקאנט היפרבולי (csch), סקאנט היפרבולי (sech) וקוטנגנס היפרבולי (coth)

בהינתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ i^2 = -1} (ראו מספרים מרוכבים) הפונקציות ההיפרבוליות הן:

סינוס היפרבולי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = -i \sin(i x)}

קוסינוס היפרבולי: $\cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos(ix)$

טנגנס היפרבולי: $\tanh(x)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=-i\tan(ix)$

קוטנגנס היפרבולי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = i \cot(i x)}

סקאנט היפרבולי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \sec(i x)}

קוסקאנט היפרבולי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = i \csc(i x)}

הגדרה לפי טורים

ניתן להביע את הפונקציות ההיפרבוליות כטורים:

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_nx^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}2^{2n} B_n x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi }

$\operatorname {sech} x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi }

כאשר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B_n} , הוא מספר ברנולי ה-n־י

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E_n} , הוא מספר אוילר ה-n־י.

קשרים לפונקציות טריגונומטריות

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

מימין העקום הפרמטרי $\ (\sin(t),\cos(t))$ ומשמאל העקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (\sinh(t),\cosh(t))} , שניהם בטווח: $\ -\pi <t<\pi$. כפי שניתן לראות, העקומה מימין מתארת מעגל ואילו העקומה משמאל מתארת היפרבולה.

כשם שהנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (\cos t, \sin t)} מגדירות מעגל, הנקודות $\ (\cosh t,\sinh t)$ מגדירות את החלק הימני של ההיפרבולה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^2-y^2=1} (הקביעה מתבססת על הזהות $\ \cosh ^{2}(t)-\sinh ^{2}(t)=1$ ועל כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \cosh(t)>0 } לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t} ). הפרמטר t איננו זווית מעגלית, אלא זווית היפרבולית שמייצגת את פעמיים השטח בין ציר ה־X, ההיפרבולה, והקו הישר שמחבר את ראשית הצירים לנקודה על ההיפרבולה (cosh t, sinh t).

למרות זאת, הפונקציות ההיפרבוליות אינן פונקציות מחזוריות, בניגוד לפונקציות הטריגונומטריות הרגילות, שכן בהצגתן המעריכית של הפונקציות הטריגונומטריות הרגילות ישנו חלק מעריכי מרוכב אשר תורם למחזוריות הפונקציה, אך נעדר מן הפונקציות ההיפרבוליות.

ההצגות המעריכיות של הפונקציות ההיפרבוליות והרגילות הן דומות, פרט, כאמור, לקיומו של החלק המרוכב בפונקציות הטריגונומטריות הרגילות. כך, למשל, פונקציית הסינוס מוגדרת כך: $\ \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$ בעוד מקבילתה ההיפרבולית מוגדרת כך, כאמור:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}} . בדומה לפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \cos x} , הפונקציה $\ \cosh x$ היא פונקציה זוגית (סימטרית סביב ציר Y)ו־cosh 0=1. באופן דומה, הן הפונקציה $\ \sin x$ והן הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sinh x} הן פונקציות אי זוגית (סימטרית סביב ראשית הצירים) ו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sinh 0=0} . הפונקציות ההיפרבוליות מקיימות זהויות רבות, כולן דומות לזהויות טריגונומטריות. למעשה, חוק אוסבורן מראה שניתן להמיר כל זהות טריגונומטרית לזהות היפרבולית, על ידי החלפת סינוס בסינוס היפרבולי, קוסינוס בקוסינוס היפרבולי, והפיכת הסימן של כל מונום שיש בו מכפלה של שני סינוסים היפרבוליים. לדוגמה:

$\cosh ^{2}(x)={\frac {1+\cosh(2x)}{2}}\Rightarrow \cos ^{2}(x)={1+\cos(2x) \over 2}$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sinh^2(x) = \frac{\cosh(2x)-1}{2} \Rightarrow \sin^2(x) = {1 - \cos(2x) \over 2}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sinh(x+y) = \sinh(x) \cosh(y) + \cosh(x) \sinh(y) \,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow\sin(x + y) = \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y)\,}

$\cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)\,$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow\cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y)\,}

זהויות נוספות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sinh(x - y)\ = \sinh(x)\cosh(y)\ - \cosh(x)\sinh(y)\,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cosh(x - y)\ = \cosh(x)\cosh(y)\ - \sinh(x)\sinh(y)\,}

$\tanh(x+y)={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}}\,$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tanh(x - y) = \frac{\tanh(x) -\tanh(y)}{1-\tanh(x)\tanh(y)} \,}

הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

arctanh(x)

ערך מורחב – פונקציות היפרבוליות הפוכות

השמות של פונקציות אלו מתחילים בתחילית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{ar}} (קיצור של area/שטח) או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{a}} .

$\operatorname {arsinh} (x)=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arccosh}(x) = \ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1})}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{artanh}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) \begin{matrix} =\frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcoth}(x) = \ln\left(\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1}\right) \begin{matrix} = \frac{1}{2} \end{matrix} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arsech}(x) = \ln\left(\frac{1 \pm \sqrt{1 - x^2}}{x}\right)}

$\operatorname {arcsch} (x)=\ln \left({\frac {1\pm {\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right)$

הגדרת הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות כטורים

ניתן להביע את הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות כטורים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcsinh} (x) = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)}, \left| x \right| < 1 }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arccosh} (x) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots ) = \ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)}, x > 1 }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arctanh} (x) = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)}, \left| x \right| < 1 }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arccsch} (x) = \operatorname{arcsinh} (x^{-1}) = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots =\sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)}, \left| x \right| < 1 }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcsech} (x) = \operatorname{arccosh} (x^{-1}) = \ln 2 - (\left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots ) = \ln 2 - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {(2n)}, 0 < x \le 1 }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arccoth} (x) = \operatorname{arctanh} (x^{-1}) = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)}, \left| x \right| > 1 }

פונקציות היפרבוליות עבור מספרים מרוכבים

פונקציות היפרבוליות יכולות לקבל בתור ארגומנט מספר מרוכב. ניתן, בעזרת נוסחת אוילר (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{\imath x} = \cos x + \imath \;\sin x} ) להגיע לקשרים הבאים בין הפונקציות ההיפרבוליות לפונקציות הטריגונומטריות עבור ארגומנטים מרוכבים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cosh(\imath x) = \frac{(e^{\imath x} + e^{-\imath x})}{2} = \cos(x)}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sinh(\imath x) = \frac{(e^{\imath x} - e^{-\imath x})}{2} = \imath \sin(x)}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tanh(\imath x) = \imath \tan(x) \,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sinh(x) = -\imath \sin(\imath x) \,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cosh(x) = \cos(\imath x) \,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tanh(x) = -\imath \tan(\imath x) \,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcsinh}(x) = \imath \arcsin(-\imath x)}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arccosh}(x) = - \imath \arccos(x)}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arctanh}(x) = \imath \arctan(-\imath x)}

במשוואות הבאות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ z=x+\imath y, \quad z \in \mathbb{C}} :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(z) = \sin(x) \cosh(y) + \imath \cos(x) \sinh(y) \,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(z) = \cos(x) \cosh(y) - \imath \sin(x) \sinh(y) \,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sinh(z) = \sinh(x) \cos(y) + \imath \cosh(x) \sin(y) \,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cosh(z) = \cosh(x) \cos(y) + \imath \sinh(x) \sin(y) \,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\sin(z)|^2 = \sin^2(x) + \sinh^2(y) \,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\cos(z)|^2 = \cos^2(x) + \sinh^2(y) \,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\sinh^2(z)| = \sinh^2(x) + \sin^2(y) \,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\cosh^2(z)| = \sinh^2(x) + \cos^2(y) \,}

שימושים בפונקציות היפרבוליות

הפונקציות ההיפרבוליות מופיעות בבעיות רבות בתחומי המתמטיקה והפיזיקה, בהן מעורב אינטגרל המכיל את הביטוי :הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {1} {\sqrt{x^2 + 1}}} (זאת בעוד שהפונקציות הטריגונומטריות מופיעות בבעיות, בהן מעורב אינטגרל המכיל את הביטוי :הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {1} {\sqrt{1- x^2}}} ).

דוגמות:

• קוסינוס היפרבולי הוא הפונקציה המתארת את צורתו של כבל תלוי בין שני עמודים (עקומת קו השרשרת).
• טנגנס היפרבולי הוא הפונקציה המתארת את מהירותו של עצם הנופל נפילה חופשית כשהוא נתון להשפעתם של כוח הכובד ושל כוח התנגדות האוויר.
• סינוס היפרבולי מופיע בביטוי לפוטנציאל הכבידתי של גליל, ובחישוב גבול רוש (Roche limit).
• טנגנס היפרבולי מופיע בחישובי מהירות בתורת היחסות הפרטית.
• סינוס, קוסינוס וטנגנס היפרבוליים מופיעים בחישובי תורת היחסות הכללית.
• הפונקציות ההיפרבוליות מופיעות במשפטים בגאומטריה היפרבולית.
• מבנה קשת השער מתוכנן על בסיס של פונקציית קוסינוס היפרבולי.

נגזרות של פונקציות היפרבוליות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx} \sinh x = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx} \cosh x = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx} \tanh x = \operatorname{sech}^2\,x}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname{sech}\,x = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname{coth}\,x = -\,\operatorname{csch}^2\,x}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname{csch}\,x = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname{arcsinh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname{arccosh}\,x = { 1 \over \sqrt{x^2 - 1}}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname{arctanh}\,x = { 1 \over 1 - x^2}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname{arcsech}\,x = -{ 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname{arccoth}\,x = { 1 \over 1 - x^2}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname{arccsch}\,x = -{1 \over x \sqrt{1 + x^2}}}

ראו גם

• נגזרות של פונקציות היפרבוליות
• קו השרשרת
• פונקציות היפרבוליות הפוכות

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציות היפרבוליות בוויקישיתוף

• פונקציות היפרבוליות, באתר MathWorld (באנגלית)
• פונקציות היפרבוליות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• פונקציות מעריכיות, דף שער בספרייה הלאומית

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

35679902פונקציות היפרבוליות