זווית היפרבולית

הזווית ההיפרבולית u היא מספר ממשי שהוא הארגומנט של הפונקציות ההיפרבוליות sinh ו-cosh. היא מגדירה גזרה היפרבולית שיש לה שטח u.

במתמטיקה, זווית היפרבולית היא פרמטר שמאפיין גזרות של היפרבולה, בדומה לאופן שבו זוויות רגילות מאפיינות גזרות של מעגל. הזווית ההיפרבולית מוגדרת ראשית בעבור "מיקום סטנדרטי", ולאחר מכן כמידה על אינטרוול של ענף היפרבולי.

הגדרה ותכונות

זווית היפרבולית במיקום סטנדרטי היא הזווית ב-$(0,0)$ בין הקרן שעוברת ב-$(1,1)$ לקרן שעוברת ב-$\left(x,{\frac {1}{x}}\right)$ כאשר x > 1; זווית זו שווה לארקטנגנס ההיפרבולי ההופכי ("ארקטנגנס היפרבולי") $\ 2\arctan ^{-1}\left({\frac {x-x^{-1}}{x+x^{-1}}}\right)$. הזווית ההיפרבולית שלילית כאשר x בין 0 ל-1.

הזווית ההיפרבולית שווה לפעמיים השטח של הגזרה ההיפרבולית המתאימה, השווה ל-$\ln x$ (הוכחה תובא בהמשך הערך), בדיוק כשם שהגודל של זווית מעגלית הוא השטח של הגזרה המעגלית המתאימה לזווית מרכזית זאת. בניגוד לזווית מעגלית, הגודל של זווית היפרבולית אינו חסום.

נניח ש-$ab=1$ ו-$cd=1$ כאשר $c>a>1$, כך שהנקודות $(a,b)$ ו-$(c,d)$ מגדירות אינטרוול על ההיפרבולה xy = 1. יש העתקה אפינית משמרת שטח הממפה את האינטרוול הזה לאינטרוול בין $(1,1)$ ל-$(bc,ad)$. חשבון שטחים פשוט מראה שהשטח תחת ההיפרבולה באינטרוול זה הוא גם השטח של הגזרה ההיפרבולית המתאימה לנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1, 1)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (bc, ad)} . לפי תוצאה של גרגואיר דה סנט וינסנט, לשטח זה תכונות לוגריתמיות^{[דרושה הבהרה]}.

הפונקציות ההיפרבוליות sinh, cosh ו-tanh נעזרות בזווית ההיפרבולית כמשתנה הבלתי תלוי שלהן, ומכיוון שהערכים שלהן ניתנים לחישוב באופן אנלוגי לפונקציות הטריגונומטריות המעגליות. לכן המושג של "זווית היפרבולית" הוא שימושי ביותר בבעיות של חשבון אינפיניטסימלי במשתנה ממשי; המושג מקנה אינטואיציה כיצד להתיר בעיות בנושא.

הקבלה לזווית מעגלית

להיפרבולת היחידה יש גזרה עם שטח ששווה למחצית הזווית ההיפרבולית.

זווית מעגלית לעומת זווית היפרבולית.

למעגל היחידה $x^{2}+y^{2}=1$ יש גזרה מעגלית ששטחה חצי מהזווית המעגלית ברדיאנים. באופן אנלוגי, להיפרבולת היחידה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 - y^2 = 1 } יש גזרה היפרבולית עם שטח ששווה למחצית הזווית ההיפרבולית.

הזווית ההיפרבולית מהווה יותר מהגדרה שרירותית המקבילה לזו של זווית מעגלית, אלא שהיא טומנת בחובה עומק רב; הרעיון הבסיסי של חיבור זוויות דרך תכונות של הנקודות המתאימות לזוויות האלו, תקף גם לזווית המעגלית וגם לזווית ההיפרבולית. הבניות הבאות מראות את ההקבלה בין הזווית ההיפרבולית לזווית המעגלית:

זוויות מעגליות ניתנות לאפיון באופן גאומטרי באמצעות התכונה שאם לשני מיתרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_0 P_1} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_0 P_2} מתאימות זוויות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_1} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_2} במרכז המעגל, אז הסכום שלהן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_1} + $L_{2}$ הוא הזווית המרכזית המתאימה למיתר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_0 Q} שמקביל ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_1 P_2} .

אותה הבניה נכונה גם להיפרבולה: אם בוחרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_0 = (1, 1)} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_1 = \left(x_1, \frac{1}{x_1}\right)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_2 = \left(x_2, \frac{1}{x_2}\right)} , אז באמצעות חישוב שיפועים ניתן להראות שתנאי ההקבלה מכתיב ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} תהא הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(x_1 x_2, \frac{1}{x_1 x_2}\right)} . נקודה זאת מתקבלת גם מהגדרת הזווית ההיפרבולית כפונקציה לוגריתמית; הנקודה המתאימה לסכום הזוויות ההיפרבוליות שמתאימות לנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_1} ו-$P_{2}$ היא, לפי הזהות $\ln(x_{1})+\ln(x_{2})=\ln(x_{1}x_{2})$, הנקודה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(x_1 x_2, \frac{1}{x_1 x_2}\right)} .

היסטוריה

הבעיה של תרבוע ההיפרבולה היא הבעיה של הערכת השטח של גזרה היפרבולית. בעיה זאת נפתרה לראשונה על ידי גרגואיר דה סנט וינסנט ב-1647 בחיבורו החשוב Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni. כפי שהיסטוריון אחד ניסח זאת:

"הוא ערך את התרבוע של ההיפרבולה ביחס לאסימפטוטות שלה, והראה שהשטח גדל בהתאם לטור חשבוני כאשר x גדל בטור גאומטרי."

תלמידו של גרגואיר, A. A. de Sarasa, פירש מחדש את השטח הזה כלוגריתם והגדיר באופן גאומטרי את הלוגריתם הטבעי. כאחת הדוגמאות הראשונות לפונקציות טרנסצנדנטיות, הלוגריתם מפורסם יותר מהרעיון שהתניע את גילויו, דהיינו הזווית ההיפרבולית.

הראשון שהרחיב את הישג ידה של הטריגונומטריה המעגלית כדי שתכלול גם את תכונות ההיפרבולות היה אוגוסטוס דה מורגן בספרו Trigonometry and Double Algebra.

ב-1914 פרסם Ludwik Silberstein את חיבורו על תורת היחסות החדשה, ובו הוא נתן פרשנות לתורה המתבססת על מושג הזווית ההיפרבולית. בהמשך לעבודתו של הרמן מינקובסקי על האיחוד המתמטי של המרחב והזמן, Silberstein הראה שניתן לפרש את טרנספורמציות לורנץ כסיבוב בזווית היפרבולית של קואורדינטות המרחב-זמן; לאחר שמגדירים זווית היפרבולית a המקיימת tanh a = v/c, טרנספורמציות לורנץ למעשה מזיזות את הקואורדינטות המרחב-זמניות של אירוע לאורך היפרבולת האינטרוול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c^2t^2 - x^2 = 1 } כאשר מערכת הייחוס משתנה. הזווית ההיפרבולית המוגדרת בדרך זאת מסייעת להבחין בין מערכות ייחוס הנמצאות במהירות יחסית אחת לשנייה, וניתן להראות את העקביות של הגדרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta } בדרך זאת:

• אם נציב tanh a = v/c בטרנספורמציית לורנץ למעבר בין מערכות ייחוס נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right) = \gamma t = \frac {{1}}{{\sqrt {{1 - (\tanh(a))^2}}}}*1 = cosh(a) = t'} (במעבר האחרון השתמשנו ב-x = 0, t = 1).

• הנוסחה לחיבור מהירות יחסותי היא תוצאה ישירה של האדיטיביות של הזווית ההיפרבולית ושל הזהות לטנגנס ההיפרבולי של סכום זוויות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c\tanh(a + b) = c\frac{\tanh(a) +\tanh(b)}{1+\tanh(a)\tanh(b)} = \frac{v_1 + v_2}{1 + \frac{ v_1 v_2}{c^2}} = v_{1+2} \,} .

באותו חיבור, Silberstein נעזר גם במושג של זווית ההקבלה (angle of parallelism) של לובצ'בסקי (Π(a כדי להגיע לתוצאה cos Π(a) = v/c.

זווית היפרבולית כזווית מעגלית מדומה

הזווית ההיפרבולית מוצגת לעיתים כמספר מדומה; אם x הוא מספר ממשי ו-i² = −1 אז:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(i x) = \cosh(x)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin(i x) = i \sinh(x)} .

כך שהפונקציות ההיפרבוליות cosh ו-sinh ניתנות להצגה באמצעות פונקציות מעגליות. הזהויות האלו ניתנות להבנה גם במונחים של טורים אינסופיים. הטור המייצג את הפונקציה האקספוננציאלית ($e^{x}=\cosh x+\sinh x\!$ ) מורכב מאיברים עם חזקות זוגיות ואי זוגיות, כאשר טור החזקות הזוגיות מרכיב את פונקציית הקוסינוס ההיפרבולי (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textstyle\cosh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}} ) וטור החזקות האי זוגיות מרכיב את פונקציית הסינוס ההיפרבולי (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textstyle\sinh x = \sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}} ). הטור האינסופי לקוסינוס נגזר מהטור האינסופי לקוסינוס היפרבולי באמצעות הפיכתו לטור מתחלף. בדרך דומה מתקבל גם הטור ל-sin מהטור ל-sinh, אלא שהפעם החזקות האי זוגיות בטור הופכות למדומות ולכן נדרש הפקטור i.

ראו גם

• היפרבולה
• פונקציות היפרבוליות

ביאורים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34139738זווית היפרבולית