פונקציות היפרבוליות הפוכות

קרן דרך היפרבולת היחידה

\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1

בנקודה

\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)

, כשהגודל של a הוא פי שניים מהשטח שבין הקרן, ההיפרבולה וציר הx.

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות

במתמטיקה, הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות הן הפונקציות ההופכיות לפונקציות ההיפרבוליות משמע לכל h פונקציה היפרבולית $h(x)\Longrightarrow h^{-1}(h(x))=x$ .

משתמשים בפונקציות היפרבוליות לחישובי זוויות ומרחקים בגאומטריה היפרבולית, משוואות דיפרנציאליות, משוואות מעוקבות ומשוואת לפלס בקואורדינטות קרטזיות. המשוואות של לפלס חשובות בתחומים רבים בפיזיקה, כולל תיאוריה אלקטרומגנטית, העברת חום, דינמיקת נוזלים, ותורת היחסות הפרטית.

הגדרות

פונקציות היפרבוליות הם פונקציות ממשיות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x} ממעלה שנייה לכל היותר ניתן להפוך אותן באמצעות הנוסחה הריבועית ואז באמצעות הלוגריתם הטבעי לקבל את x.

למספרים מורכבים, הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות, השורש הריבועי והלוגריתם הם פונקציות רב ערכיות, ולכן עבור ערכים שונים יכול להיות שהפונקציות יחזירו את אותו ערך.

לכל הפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות (חוץ מהקוטנגנס, הקוסכנת ההיפרבולים ההפוכים), תחום ההגדרה של הפונקציה הממשית קשיר .

סינוס היפרבולי הפוך

סינוס היפרבולי הפוך :^[1]^[2]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arsinh} x =\ln \left ( x + \sqrt{x^2 + 1} \right ) }

תחום ההגדרה הוא כל הישר הממשי.

קוסינוס היפרבולי הפוך

קוסינוס היפרבולי הפוך:^[1]^[2]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcosh} x =\ln \left ( x + \sqrt{x^2 - 1} \right ) }

תחום ההגדרה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .x\in [1, +\infty)}

טנגנס היפרבולי הפוך

טנגנס היפרבולי הפוך :^[2]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{artanh} x =\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) }

תחום ההגדרה הוא הקטע: $(-1, 1)$ .

קוטנגנס היפרבולי הפוך

קוטנגנס היפרבולי הפוך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcoth} x = \frac12\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) }

תחום ההגדרה הוא: $x\in (-\infty ,-1)\cup (1,\infty )$ .

הסכנת היפרבולי הפוך

הסכנת ההיפרבולי הפוך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arsech} x = \ln \left( \frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}- 1} \right) = \ln \left( \frac{1 +\sqrt{1- x^2}}{x} \right) }

תחום הגדרה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in (0,1]}

כוסכנת היפרבולי הפוך

כוסכנת היפרבולי הפוך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcsch} x = \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+ 1} \right) = \ln \left( \frac{1 +\sqrt{1+ x^2}}{x} \right) }

תחום ההגדרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in R,x \neq 0}

זהויות חיבור

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arsinh} u \pm \operatorname{arsinh} v = \operatorname{arsinh} \left(u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right)}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcosh} u \pm \operatorname{arcosh} v = \operatorname{arcosh} \left(u v \pm \sqrt{(u^2 - 1) (v^2 - 1)}\right)}

\operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcoth} u \pm \operatorname{arcoth} v = \operatorname{arcoth} \left( \frac{1 \pm uv}{u \pm v} \right)}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\operatorname{arsinh} u + \operatorname{arcosh} v & = \operatorname{arsinh} \left(u v + \sqrt{(1 + u^2) (v^2 - 1)}\right) \\ & = \operatorname{arcosh} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right) \end{align}}

זהויות נוספות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} 2\operatorname{arcosh}x&=\operatorname{arcosh}(2x^2-1) &\quad \hbox{ for }x\geq 1 \\ 4\operatorname{arcosh}x&=\operatorname{arcosh}(8x^4-8x^2+1) &\quad \hbox{ for }x\geq 1 \\ 2\operatorname{arsinh}x&=\operatorname{arcosh}(2x^2+1) &\quad \hbox{ for }x\geq 0 \\ 4\operatorname{arsinh}x&=\operatorname{arcosh}(8x^4+8x^2+1) &\quad \hbox{ for }x\geq 0 \end{align} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(x) = \operatorname{arcosh} \left( \frac{x^2 + 1}{2x}\right) = \operatorname{arsinh} \left( \frac{x^2 - 1}{2x}\right) = \operatorname{artanh} \left( \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right) }

הרכבת פונקציות היפרבוליות על פונקציות היפרבוליות הפוכות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} &\sinh(\operatorname{arcosh}x) = \sqrt{x^{2} - 1} \quad \text{for} \quad |x| > 1 \\ &\sinh(\operatorname{artanh}x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 < x < 1 \\ &\cosh(\operatorname{arsinh}x) = \sqrt{1+x^{2}} \\ &\cosh(\operatorname{artanh}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 < x < 1 \\ &\tanh(\operatorname{arsinh}x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \\ &\tanh(\operatorname{arcosh}x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} \quad \text{for} \quad |x| > 1 \end{align}}

המרות בין פונקציות היפרבוליות הפוכות שונות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln x = \operatorname{artanh} \left( \frac{x^2-1}{x^2+1}\right) = \operatorname{arsinh} \left( \frac{x^2-1}{2 x}\right) = \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac{x^2+1}{2 x}\right) }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{artanh} x = \operatorname{arsinh} \left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) }

\operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcosh} x = \left| \operatorname{arsinh} \left( \sqrt{x^2-1}\right) \right| = \left| \operatorname{artanh} \left( \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \right) \right| }

נגזרות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \frac{d}{dx} \operatorname{arsinh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \text{ for all real } x\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcosh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \text{ for all real } x>1\\ \frac{d}{dx} \operatorname{artanh} x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \text{ for all real } |x|<1\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcoth} x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \text{ for all real } |x|>1\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arsech} x & {}= \frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}, \text{ for all real } x \in (0,1)\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch} x & {}= \frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}, \text{ for all real } x\text{, except } 0\\ \end{align}}

הגדרות בעזרת טורי חזקות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\operatorname{arsinh} x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} \pm\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {2n+1}, \qquad \left| x \right| < 1 \end{align} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\operatorname{arcosh} x & = \ln(2x) - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\ & = \ln(2x) - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {2n}, \qquad \left| x \right| > 1 \end{align} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\operatorname{artanh} x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {2n+1}, \qquad \left| x \right| < 1 \end{align} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\operatorname{arcsch} x = \operatorname{arsinh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} \pm\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {2n+1}, \qquad \left| x \right| > 1 \end{align} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}\operatorname{arsech} x = \operatorname{arcosh} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\ & = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n}, \qquad 0 < x \le 1 \end{align} }

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arsinh} x = \ln(2x) + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}}

במישור המורכב

כפונקציות של משתנה מורכב, פונקציות היפרבוליות הפוכות הן פונקציות רב ערכיות שהן אנליטיות, למעט במספר סופי של נקודות.

מפני שהפונקציות הן רב ערכיות במישור המורכב אז כמו בפונקציות טריגונומטריות הפוכות מעדיפים להגדיר אותם רק מעל תחום מסוים בו הן חד ערכיות.

ההגדרה של הסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב

ההגדרה של הסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב ניתן על ידי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arsinh} z = \operatorname{Log}(z + \sqrt{z^2 + 1} \,)\,.}

התוצאה השורש הריבועי הוא מספר ממשי שאינו חיובי, אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z \in(- \infin i,-i) \cup (i,\infin) } . אם הערך המוצב בלוגריתם הוא ממשי, הרי שתוצאת הלוגריתם היא מספר חיובי. לפיכך נוסחה זו מגדירה תחום בו arcsin הוא חד ערכי.

הגדרת קוסינוס ההיפרבולי ההפוך במישור המורכב

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{arcosh} z = \operatorname{Log}(z + \sqrt{z+1} \sqrt{z-1} \,)\,.}

הגדרת הטנגנס והקוטנגנס ההיפרבוליים ההפוכים במישור המורכב

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \operatorname{artanh} z &=\frac12\operatorname{Log}\left(\frac{1+z}{1-z}\right) \\ \operatorname{arcoth} z &= \frac12\operatorname{Log}\left(\frac{z+1}{z-1}\right) \end{align} }

ראו גם

לוגריתם מורכב

ביבליוגרפיה

הרברט בוסמן ופול ג'יי קלי (1953) גאומטריה השלכתית ומדדים השלכתיים, עמוד 207, העיתונות האקדמית .
Weisstein, Eric W. "Inverse Hyperbolic Functions." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/InverseHyperbolicFunctions.html
Inverse hyperbolic functions. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Inverse_hyperbolic_functions&oldid=47421

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציות היפרבוליות הפוכות בוויקישיתוף

פונקציות היפרבוליות הפוכות, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

^ ^1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "Inverse Hyperbolic Functions". mathworld.wolfram.com (באנגלית). נבדק ב-2020-08-30.
^ ^2.0 ^2.1 ^2.2 "Inverse hyperbolic functions - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. נבדק ב-2020-08-30.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

32698580פונקציות היפרבוליות הפוכות

[:0-1] 1.0 ^1.1 Weisstein, Eric W. "Inverse Hyperbolic Functions". mathworld.wolfram.com (באנגלית). נבדק ב-2020-08-30.

[:1-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 "Inverse hyperbolic functions - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. נבדק ב-2020-08-30.

[1]

[2]

פונקציות היפרבוליות הפוכות

תוכן עניינים