יש להשלים ערך זה : בערך זה חסר תוכן מהותי.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.
יש להשלים ערך זה : בערך זה חסר תוכן מהותי.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.
ערכיה של הפונקציה
S
(
q
)
=
∑
n
=
1
∞
q
n
1
−
q
n
{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}
התכנסות שלה במישור המרוכב (שהוא עיגול היחידה
|
q
|
<
1
{\displaystyle |q|<1}
במתמטיקה , טור למברט , הנקרא על שם יוהאן היינריך למברט , הוא טור אינסופי בעל הצורה
S
(
q
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
q
n
1
−
q
n
.
{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.}
אשר ניתן לפתחו פורמלית באמצעות הנוסחה לסיכום טור הנדסי אינסופי, מה שמניב את הטור
S
(
q
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
∑
k
=
1
∞
q
n
k
=
∑
m
=
1
∞
b
m
q
m
{\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}}
כאשר המקדמים של הטור החדש ניתנים על ידי קונבולוציית דיריכלה של a n n ) = 1:
b
m
=
(
a
∗
1
)
(
m
)
=
∑
n
∣
m
a
n
.
{\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,}
לטורי למברט יש שלל הקשרים במתמטיקה, במיוחד בתורת המספרים ובאנליזה מתמטית .
דוגמאות מכיוון שהסכום האחרון הוא סכום אריתמטי טיפוסי, כמעט כל פונקציה כפלית אריתמטית תהיה סכימה כאשר עושים בה שימוש כמקדמים של טור למברט. למשל, מתקיים
∑
n
=
1
∞
q
n
σ
0
(
n
)
=
∑
n
=
1
∞
q
n
1
−
q
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}
כאשר
σ
0
(
n
)
=
d
(
n
)
{\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)}
פונקציית מחלקים מסדר אפס, השווה למספר המחלקים הטבעיים של המספר n .
בעבור פונקציות מחלקים מסדר גבוה יותר, מקבלים
∑
n
=
1
∞
q
n
σ
α
(
n
)
=
∑
n
=
1
∞
n
α
q
n
1
−
q
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}}
כאשר
α
{\displaystyle \alpha }
מספר מרוכב ו-
σ
α
(
n
)
=
(
Id
α
∗
1
)
(
n
)
=
∑
d
∣
n
d
α
{\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,}
היא פונקציית מחלקים. בעבור
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
q
F
′
(
q
)
F
(
q
)
{\displaystyle q{\frac {F'(q)}{F(q)}}}
ביטוי אשר (עד כדי פקטור
q
{\displaystyle q}
נגזרת הלוגריתמית של הפונקציה היוצרת של פונקציית החלוקה
F
(
q
)
:=
1
ϕ
(
q
)
=
∑
k
=
0
∞
p
(
k
)
q
k
=
∏
n
=
1
∞
1
1
−
q
n
.
{\displaystyle F(q):={\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.}
ניתן לזהות את השוויון בין
q
F
′
(
q
)
F
(
q
)
{\displaystyle q{\frac {F'(q)}{F(q)}}}
חוקי הלוגריתמים (לוגריתם של מכפלה אינסופית שווה לטור אינסופי של לוגריתמים) וגזירה איבר איבר של טור הלוגריתמים המתקבל, באמצעות כלל השרשרת .
קשרים נוספים של טורי למברט לפונקציות אריתמטיות שונות כוללים את:
∑
n
=
1
∞
φ
(
n
)
q
n
1
−
q
n
=
q
(
1
−
q
)
2
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}},}
הסבר : את משוואה זו ניתן להסביר על סמך הזהות של אגף ימין שלה עם
q
(
1
−
q
)
2
=
∑
n
=
1
∞
(
∑
k
=
n
∞
q
k
)
=
∑
n
=
1
∞
n
q
n
{\displaystyle {\frac {q}{(1-q)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }(\sum _{k=n}^{\infty }q^{k})=\sum _{n=1}^{\infty }nq^{n}}
∑
d
|
n
φ
(
d
)
=
n
{\displaystyle \sum _{d|n}\varphi (d)=n}
q
n
{\displaystyle q^{n}}
בעבור פונקציית פון מנגולדט
Λ
(
n
)
{\displaystyle \Lambda (n)}
∑
n
=
1
∞
Λ
(
n
)
q
n
1
−
q
n
=
∑
n
=
1
∞
log
(
n
)
q
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\log(n)q^{n}}
∑
n
=
1
∞
λ
(
n
)
q
n
1
−
q
n
=
∑
n
=
1
∞
q
n
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}}
כאשר הסכום באגף ימין של הפונקציה האחרונה קשור לאחת מפונקציות תטא של יעקובי באופן הבא:
1
2
(
ϑ
3
(
q
)
−
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right)}
ישנם גם קשרים מעניינים של טורי למברט עם פונקציית סכום הריבועים , הבאים לידי ביטוי במגוון זהויות על הפונקציה היוצרת שלה. למשל, את הפונקציה היוצרת של
r
2
(
n
)
{\displaystyle r_{2}(n)}
∑
n
=
1
∞
4
⋅
(
−
1
)
n
+
1
q
2
n
+
1
1
−
q
2
n
+
1
=
∑
m
=
1
∞
r
2
(
m
)
q
m
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4\cdot (-1)^{n+1}q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }r_{2}(m)q^{m}.}
כלומר זהו טור למברט שבו כל המקדמים של האיברים במקומות הזוגיים מתאפסים, ומקדמי האיברים שבמקומות האי זוגיים זהים בערכם המוחלט (שהוא 4) אך מתחלפים לסירוגין בסימנם.
ראו גם 34338558 טור למברט
