פונקציית סכום הריבועים

בתורת המספרים, פונקציית סכום הריבועים היא פונקציה אריתמטית, שסופרת את מספר ההצגות של מספר טבעי נתון n כסכום של k ריבועים, כאשר הצגות עם סדר מחוברים שונה או סימן הפוך של המספרים המועלים בריבוע נספרות כהצגות שונות, והיא מסומנת (r_k(n.

הגדרה

הפונקציה מוגדרת באופן הבא:

$r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\ :\ n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|$

כאשר $|\,\ |$ מסמל את הגודל של הקבוצה. במילים אחרות, (r_k(n הוא מספר הדרכים שבהן n ניתן לכתיבה כסכום של k ריבועים.

לדוגמה, $r_{2}(1)=4$ מכיוון ש-$1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$, ו-$r_{2}(2)=4$ מכיוון ש-$2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ (יש ארבעה צירופי סימנים). כדוגמה נוספת - $r_{2}(3)=0$, שכן אין דרך להציג את 3 כסכום של שני ריבועים.

תוצאות ידועות

k = 2

ערך מורחב – סכום של שני ריבועים

את מספר הדרכים לכתוב מספר טבעי כסכום של שני ריבועים סופרת הפונקציה (r₂(n. יש לה נוסחה מפורשת:

$r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))$

כאשר (d₁(n הוא מספר המחלקים של n המשאירים שארית 1 בחלוקה ב-4 ו- (d₃(n הוא מספר המחלקים של n המשאירים שארית 3 בחלוקה ב-4. באמצעות סימן הסכימה, הביטוי הזה ניתן לכתיבה גם כ-:

$r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}$

פירוק לגורמים ראשוניים $n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots$, כאשר $p_{i}$ הם הגורמים הראשוניים מהצורה $p_{i}\equiv 1{\pmod {4}}$, ו-$q_{i}$ הם הגורמים הראשוניים מהצורה $q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}$, מניב נוסחה שקולה נוספת:

$r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots$

התקפה אם כל המעריכים $h_{1},h_{2},\cdots$ הם זוגיים. אם אחד או יותר מהמעריכים הללו הוא אי-זוגי, אז $r_{2}(n)=0$.

k = 3

גאוס הוכיח שעבור מספר ללא גורמים ריבועיים n > 4:

$r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{if }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{otherwise}},\end{cases}}$

כאשר (h(m מסמל את מספר המחלקה (class number) של המספר הטבעי m.

k = 4

ערך מורחב – משפט ארבעת הריבועים של יעקובי

מספר הדרכים להציג את n כסכום של ארבעה ריבועים תמיד חיובי (בהתאם למשפט ארבעת הריבועים של לגראנז'), והוא מחושב בהתאם לנוסחה המפורשת של קרל גוסטב יעקב יעקובי, לפיה הוא שווה לשמונה פעמים סכום כל המחלקים של n שאינם מתחלקים ב-4, כלומר:

$r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.$

אם מפרקים את m לגורם זוגי וגורם אי-זוגי, כלומר כותבים אותו בצורה n = 2^km, כאשר m מספר אי-זוגי, אז ניתן להציג את $r_{4}(n)$ במונחי פונקציית סכום המחלקים באופן הבא:

$r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).$

k = 8

יעקובי מצא גם נוסחה מפורשת עבור המקרה k = 8:

$r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.$

פונקציה יוצרת

הפונקציה היוצרת של הסדרה $r_{k}(n)$ בעבור k קבוע ניתנת לביטוי במונחי פונקציית תטא של יעקובי:

$\vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n},$

כאשר

$\vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots .$

ערכים מספריים

30 הערכים הראשונים של $r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8$ נתונים בטבלה למטה:

n	=	r1(n)	r2(n)	r3(n)	r4(n)	r5(n)	r6(n)	r7(n)	r8(n)
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	4	6	8	10	12	14	16
2	2	0	4	12	24	40	60	84	112
3	3	0	0	8	32	80	160	280	448
4	22	2	4	6	24	90	252	574	1136
5	5	0	8	24	48	112	312	840	2016
6	2×3	0	0	24	96	240	544	1288	3136
7	7	0	0	0	64	320	960	2368	5504
8	23	0	4	12	24	200	1020	3444	9328
9	32	2	4	30	104	250	876	3542	12112
10	2×5	0	8	24	144	560	1560	4424	14112
11	11	0	0	24	96	560	2400	7560	21312
12	22×3	0	0	8	96	400	2080	9240	31808
13	13	0	8	24	112	560	2040	8456	35168
14	2×7	0	0	48	192	800	3264	11088	38528
15	3×5	0	0	0	192	960	4160	16576	56448
16	24	2	4	6	24	730	4092	18494	74864
17	17	0	8	48	144	480	3480	17808	78624
18	2×32	0	4	36	312	1240	4380	19740	84784
19	19	0	0	24	160	1520	7200	27720	109760
20	22×5	0	8	24	144	752	6552	34440	143136
21	3×7	0	0	48	256	1120	4608	29456	154112
22	2×11	0	0	24	288	1840	8160	31304	149184
23	23	0	0	0	192	1600	10560	49728	194688
24	23×3	0	0	24	96	1200	8224	52808	261184
25	52	2	12	30	248	1210	7812	43414	252016
26	2×13	0	8	72	336	2000	10200	52248	246176
27	33	0	0	32	320	2240	13120	68320	327040
28	22×7	0	0	0	192	1600	12480	74048	390784
29	29	0	8	72	240	1680	10104	68376	390240
30	2×3×5	0	0	48	576	2720	14144	71120	395136

קישורים חיצוניים

• Sum of Squares Function, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

30052325פונקציית סכום הריבועים