פונקציית ליוביל

במתמטיקה, פונקציית ליוביל, על שם ז'וזף ליוביל, היא פונקציה אריתמטית חשובה בתורת המספרים, המוגדרת לכל $n$ טבעי על ידי:

$\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$

כאשר $\Omega (n)$ מספר המספרים הראשוניים המחלקים את $n$ .

ניתן לראות כי $\Omega (ab)=\Omega (a)+\Omega (b)$ , אז $\lambda (ab)=\lambda (a)\lambda (b)$ . למספר 1 אין גורמים ראשוניים, אז $\Omega (1)=0$ ומכאן $\lambda (1)=1$ . ניתן לראות כי:

$\sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&:n=k^{2},k\in \mathbb {N} \\0&:n\neq k^{2}\end{cases}}$

ניתן לראות כי פונקציית ליוביל והערך המוחלט של פונקציית מביוס הם הופכי דיריכלה. פונקציית ליוביל מופיע גם בטורים של פונקציות אחרות, לדוגמה

• ${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}$
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {\vartheta _{3}(q)-1}{2}}$

כאשר $\vartheta _{3}(q)$ פונקציית תטא של יעקובי.

לאורך השנים הוצגו שתי השערות בנוגע לפונקציית ליוביל, אך שתיהן הוכחו כשגויות.

הטענה הראשונה הייתה שאם נגדיר פונקציה $L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)$ , אז $L(n)\leq 0$ לכל $n>1$ . השערה זו ידוע בתור השערת פוליה והוצא על ידי ג'ורג' פוליה בשנת 1919, אך הוכחה כשגויה בשנת 1980. עבור $n=906150257$ .

הטענה השנייה הייתה שאם נגדיר פונקציה $T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}$ אז $T(n)\geq 0$ . אך השערה זו הוכחה כלא נכונה בשנת 1958, מכיוון שלפונקציה יש נקודות שליליות רבות. אם השערה זו הייתה נכונה, אז הדבר היה מוביל להוכחת השערת רימן, כפי שהראה פול טוראן.