פונקציית ליוביל

במתמטיקה, פונקציית ליוביל, על שם ז'וזף ליוביל, היא פונקציה אריתמטית חשובה בתורת המספרים, המוגדרת לכל $ n $ טבעי על ידי:

$ \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)} $

כאשר $ \Omega (n) $ מספר המספרים הראשוניים המחלקים את $ n $ .

ניתן לראות כי $ \Omega (ab)=\Omega (a)+\Omega (b) $ , אז $ \lambda (ab)=\lambda (a)\lambda (b) $ . למספר 1 אין גורמים ראשוניים, אז $ \Omega (1)=0 $ ומכאן $ \lambda (1)=1 $ . ניתן לראות כי:

$ \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&:n=k^{2},k\in \mathbb {N} \\0&:n\neq k^{2}\end{cases}} $

ניתן לראות כי פונקציית ליוביל והערך המוחלט של פונקציית מביוס הם הופכי דיריכלה. פונקציית ליוביל מופיע גם בטורים של פונקציות אחרות, לדוגמה

• $ {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}} $
• $ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {\vartheta _{3}(q)-1}{2}} $

כאשר $ \vartheta _{3}(q) $ פונקציית תטא של יעקובי.

לאורך השנים הוצגו שתי השערות בנוגע לפונקציית ליוביל, אך שתיהן הוכחו כשגויות.

הטענה הראשונה הייתה שאם נגדיר פונקציה $ L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k) $ , אז $ L(n)\leq 0 $ לכל $ n>1 $ . השערה זו ידוע בתור השערת פוליה והוצא על ידי ג'ורג' פוליה בשנת 1919, אך הוכחה כשגויה בשנת 1980. עבור $ n=906150257 $ .

הטענה השנייה הייתה שאם נגדיר פונקציה $ T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}} $ אז $ T(n)\geq 0 $ . אך השערה זו הוכחה כלא נכונה בשנת 1958, מכיוון שלפונקציה יש נקודות שליליות רבות. אם השערה זו הייתה נכונה, אז הדבר היה מוביל להוכחת השערת רימן, כפי שהראה פול טוראן.