תנאי שפה

תנאי שפה הם נתונים שמאפשרים הפיכת פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית לפתרון מסוים. אם זוהי משוואה דיפרנציאלית רגילה התנאים הם ערכי פונקציית הפתרון או הנגזרות השונות שלה במספר סופי של ערכים של המשתנה שלה. אם זוהי משוואה דיפרנציאלית חלקית תנאי השפה הם פונקציית הפתרון או הנגזרות השונות שלה בתחומים מסוימים (השפה), כלומר הם פונקציות בעצמם.

תנאי השפה מתחלקים לשני סוגים עיקריים:

1. תנאי דיריכלה - כאשר נתון ערכה של הפונקציה על השפה
2. תנאי ניומן - כאשר נתון ערכה של נגזרת הפונקציה על השפה

כאשר המשוואות הדיפרנציאליות הן ייצוג של בעיה פיזיקלית כלשהי, לרוב מדובר במשוואה עם פונקציה של הזמן או המרחב. במקרה שתנאי השפה נתונים לרגע $\ t=0$, קוראים לתנאים תנאי התחלה. תנאי השפה הם חלק מהותי מבעיות כמו משוואת לפלס וידיעתם חיונית לפתרון.

מתנד הרמוני

המשוואה הדיפרנציאלית המתארת מתנד הרמוני עם קבוע קפיץ ידוע k היא משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר שני:

$\,y''(x)+k^{2}y(x)=0$

הפתרון הכללי של המשוואה הוא מהצורה:

$\,y(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)$

כאשר A ו-B הם שני קבועים המהווים דרגות חופש של הפתרון, ומספרם כסדר המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה. על מנת לקבל פתרון מדויק של הפונקציה המתארת את המתנד ההרמוני דרושים שני תנאי שפה. אם תנאי השפה הם מסוג דיריכלה, הפונקציה ידועה בשתי נקודות:

$y(0)=0,\ y(\pi /2k)=2.$

מהתנאי $y(0)=0$ מקבלים:

$0=A\cdot 0+B\cdot 1$

ומתנאי השפה $y(\pi /2k)=2$ מקבלים:

$2=A\cdot 1$

מכאן שפתרון המשוואה הדיפרנציאלית עם תנאי השפה הללו הוא:

$y(t)=2\sin(kx)\,$

משוואת לפלס

משוואת לפלס היא המשוואה הדיפרנציאלית החלקית:

$\nabla ^{2}f=0$

כאשר $\nabla ^{2}$ הוא אופרטור הלפלסיאן. בעיה מסוג דיריכלה היא פתרון המשוואה כך שערכיה על השפה הכולאת את אזור הבעיה שווים לפונקציה ידועה. דוגמה לבעיה כזאת היא משוואת החום: הטמפרטורה על משטח סגור נקבעת על ידי גורם חיצוני (והיא לאו דווקא אחידה על פניו), ויש למצוא את הטמפרטורה באזור שכלוא על ידי המשטח לאחר זרימת חום והתייצבות הטמפרטורה.

אם אזור הבעיה הוא בצורת תיבה אופרטור הלפלסיאן יילקח בקואורדינטות קרטזיות. אם $f(x,y,z)\,$ ניתנת להפרדת משתנים והתיבה ארוכה מאד באחד הכיוונים (למשל ציר z) כך שהטמפרטורה תלויה רק בשתי קואורדינטות, הפתרון הבסיסי הוא מכפלה של פתרונות המתנד ההרמוני בשתי קואורדינטות אלה. אולם כעת על מנת לקבל פתרון מדויק יש צורך בידיעת הפתרון על פני כל שפת התיבה. הפתרון הכללי הוא סכום על כל הפתרונות עם קבועים k המקיימים את תנאי השפה:

$\,f(x,y)=\sum _{n,m=0}^{\infty }(A_{nm}\sin(k_{n}x)+B_{nm}\cos(k_{n}x))(C_{nm}\sin(k_{m}y)+D_{nm}\cos(k_{m}y))$

המקדמים $\ A_{mn},B_{mn},C_{nm},D_{nm}$ הם סדרות של שני משתנים וגם הם נקבעים על ידי תנאי השפה.

משוואת הגלים

משוואת הגלים היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר שני. בשלושה ממדים המשוואה היא:

$\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (t,{\vec {r}})-c^{2}\ \nabla ^{2}\psi (t,{\vec {r}})=0$

פתרונה הכללי של משוואה זו הוא גל כלשהו: פונקציה של המרחב שמשתנה בזמן כך שערכיה נשמרים בנקודות שנעות בכיוון כלשהו במרחב במהירות c, או צירוף לינארי של פונקציות כאלה. תנאי השפה יכולים לקבוע את חזית הגל וכך להכתיב את סוג הגל, למשל גל מישורי או גל כדורי.

בהקשר של פתרון משוואת הגלים ראוי לציין שבעיות גלים מסוג דיריכלה עשויות להיות למשל תיאור התבניות הנוצרות במיתר כתוצאה מקצה קשור (ערך פונקציית הגל בקצה הקשור קבוע), בעוד שבעיות מסוג ניומן עשויות להיות למשל תיאור תנודת המיתר כאשר יש לו קצה חופשי. המושגים של קצה קשור וקצה חופשי הם מרכזיים בתורת הגלים ורלוונטיים לא רק לבעיית המיתר הרועד אלא גם לגלי קול ואור.