חבורת הקווטרניונים
חבורת הקווטרניונים היא חבורה לא אבלית מסדר 8. מקובל לסמן את החבורה Q8 או פשוט Q.
ניתן להציג את החבורה כך: $ Q=\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1\rangle \,\! $. זוהי הצגה נוחה, אך בזבזנית של Q. למעשה החבורה נוצרת גם על ידי שני איברים בלבד, וניתן להציגה כ-$ \langle x,y\mid x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle \,\! $. x, y הם כל שניים מבין i, j, k. את לוח הכפל של החבורה אפשר לקרוא מן הטבלה הבאה (כאשר שינוי הסימן של אחד הגורמים משנה גם את הסימן של המכפלה):
| × | 1 | i | j | k |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | i | j | k |
| i | i | −1 | k | −j |
| j | j | −k | −1 | i |
| k | k | j | −i | −1 |
חבורת הקווטרניונים עומדת בבסיס אלגברת הקווטרניונים של המילטון $ \mathbb {H} $. האחרונה היא אוסף הצירופים הליניאריים מעל הממשיים של איברי חבורת הקווטרניונים. כלומר: $ \mathbb {H} =\{a+ib+jc+kd\mid a,b,c,d\in \mathbb {R} \} $.
הצגה ליניארית
חבורת הקווטרניונים ניתנת להצגה ליניארית כתת חבורה של $ \ \mathrm {SL} _{2}(\mathbf {C} ) $, החבורה הליניארית המיוחדת מסדר 2 מעל המרוכבים, הכוללת את איברי החבורה הליניארית הכללית $ \ \mathrm {GL} _{2}(\mathbf {C} ) $ שהדטרמיננטה שלהם היא 1:
- $ 1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i\mapsto {\begin{pmatrix}{\sqrt {-1}}&0\\0&-{\sqrt {-1}}\end{pmatrix}},\quad j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\quad k\mapsto {\begin{pmatrix}0&{\sqrt {-1}}\\{\sqrt {-1}}&0\end{pmatrix}} $
הצגה נוספת של Q היא כתת-חבורה של $ \ \mathrm {SL} (2,3) $, חבורת המטריצות 2×2 מעל השדה הסופי מסדר 3 (שאיבריו הם $ \ -1,0,1 $):
- $ 1\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}},\quad j\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}},\quad k\mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}} $
הצגה זו מראה ש-Q היא תת חבורה נורמלית מאינדקס 3 של $ \ \mathrm {SL} (2,3) $ (שהסדר שלה הוא 24).
תכונות
המרכז של החבורה הוא {1, −1}. חבורת המנה ביחס למרכז וחבורת האוטומורפיזמים הפנימיים של חבורת הקווטרניונים איזומורפיות לחבורת הארבעה של קליין. חבורת האוטומורפיזם הכללית איזומורפית לחבורה הסימטרית S4 וחבורת האוטומורפיזם החיצונית ל-S3.
חבורה המילטונית היא חבורה לא אבלית, שכל תת-החבורות שלה הן נורמליות. כל חבורה המילטונית היא מכפלה של חבורת הקווטרניונים בחבורה אבלית שהיא מכפלת חבורת-2 אלמנטרית בחבורה מפותלת שכל אבריה מסדר אי-זוגי. (חבורה שהיא או אבלית או המילטונית נקראת לפעמים "חבורת דדקינד").
ראו גם
קישורים חיצוניים
- חבורת הקווטרניונים, באתר MathWorld (באנגלית)
חבורת הקווטרניונים34851656