חבורת קווטרניונים מוכללת
בתורת החבורות, חבורת קווטרניונים מוכללת היא חבורה שיש לה הצגה מהצורה $ \ \langle x,y|x^{n}=y^{2},yxy^{-1}=x^{-1}\rangle $ לשלם n כלשהו. זוהי חבורה מסדר $ \ 4n $, שמקובל לסמן ב-$ \ Q_{4n} $. חבורת הקווטרניונים הסטנדרטית היא החבורה $ \ Q_{8} $, המתאימה למקרה n=2.
אפשר להציג חבורת קווטרניונים מוכללת באמצעות מטריצות בגודל $ \ 2\times 2 $ מעל $ \ \mathbb {C} $, כחבורה הנוצרת על ידי $ \ x=\left({\begin{array}{cc}\rho _{n}&0\\0&\rho _{n}^{-1}\end{array}}\right),y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}}\right) $, כאשר $ \ \rho _{n} $ הוא שורש היחידה הפרימיטיבי מסדר n. חבורה זו מוכלת באלגברת הקווטרניונים של המילטון, שם היא נוצרת על ידי $ \ x=e^{2\pi i/n} $ ו- $ \ y=j $.
כל תת-חבורה אבלית של $ \ Q_{n} $ היא ציקלית. כל חבורת-p סופית עם תכונה זו היא או ציקלית, או חבורת קווטרניונים מוכללת. בחבורת קווטרניונים מסדר חזקת-2 יש תת-חבורה יחידה מסדר 2, ושוב, כל חבורת-p סופית שיש לה תת-חבורה יחידה מסדר p היא או ציקלית או חבורת קווטרניונים מוכללת. כל חבורה סופית שכל תת-החבורות שלה הן נורמליות היא או אבלית, או מכפלה ישרה של חבורת קווטרניונים מוכללת מסדר חזקת-2 וחבורת-2 אבלית אלמנטרית (כלומר, מכפלה ישרה של עותקים של החבורה הציקלית מסדר 2).
חבורת 2-סילו של חבורת המטריצות $ \ \operatorname {SL} _{2}(F) $ מעל שדה סופי F מסדר אי זוגי, היא חבורת קווטרניונים מוכללת.
מקורות
Group Theory, Scott.
חבורת קווטרניונים מוכללת32205753