חבורת קווטרניונים מוכללת

בתורת החבורות, חבורת קווטרניונים מוכללת היא חבורה שיש לה הצגה מהצורה $\ \langle x,y|x^{n}=y^{2},yxy^{-1}=x^{-1}\rangle$ לשלם n כלשהו. זוהי חבורה מסדר $\ 4n$ , שמקובל לסמן ב- $\ Q_{4n}$ . חבורת הקווטרניונים הסטנדרטית היא החבורה $\ Q_{8}$ , המתאימה למקרה n=2.

אפשר להציג חבורת קווטרניונים מוכללת באמצעות מטריצות בגודל $\ 2\times 2$ מעל $\ \mathbb {C}$ , כחבורה הנוצרת על ידי $\ x=\left({\begin{array}{cc}\rho _{n}&0\\0&\rho _{n}^{-1}\end{array}}\right),y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}}\right)$ , כאשר $\ \rho _{n}$ הוא שורש היחידה הפרימיטיבי מסדר n. חבורה זו מוכלת באלגברת הקווטרניונים של המילטון, שם היא נוצרת על ידי $\ x=e^{2\pi i/n}$ ו- $\ y=j$ .

כל תת-חבורה אבלית של $\ Q_{n}$ היא ציקלית. כל חבורת-p סופית עם תכונה זו היא או ציקלית, או חבורת קווטרניונים מוכללת. בחבורת קווטרניונים מסדר חזקת-2 יש תת-חבורה יחידה מסדר 2, ושוב, כל חבורת-p סופית שיש לה תת-חבורה יחידה מסדר p היא או ציקלית או חבורת קווטרניונים מוכללת. כל חבורה סופית שכל תת-החבורות שלה הן נורמליות היא או אבלית, או מכפלה ישרה של חבורת קווטרניונים מוכללת מסדר חזקת-2 וחבורת-2 אבלית אלמנטרית (כלומר, מכפלה ישרה של עותקים של החבורה הציקלית מסדר 2).