ריבוע הקסם של פרוידנטל הוא תבנית המארגנת בניה אחידה של כמה אלגברות לי, חלקן ספורדיות. הריבוע נקרא על-שם הנס פרוידנטל שפיתח את הבניה במקביל לז'אק טיץ. ריבוע הקסם מתאים לזוג אלגברות הרכב מעל הממשיים אלגברת לי, שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מוצג בריבוע, כדלקמן:
ריבוע הקסם
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
 |
|
השורה האחרונה בריבוע כוללת את כל האלגברות הספורדיות, למעט
, ומדגימה עד כמה קשורות האלגברות הספורדיות לאלגברת האוקטוניונים (
עצמה היא אלגברת הנגזרות של אלגברת האוקטוניונים).
בניית טיץ
כידוע, יש בדיוק ארבע אלגברות הרכב עם יחידה, ללא מחלקי אפס, מעל הממשיים: שדה הממשיים עצמו,
, שדה המספרים המרוכבים
, אלגברת הקווטרניונים של המילטון
ואלגברת האוקטוניונים
. תיאור דומה נכון מעל כל שדה: פרט לשדה עצמו, אפשר למנות את ההרחבות הריבועיות הספרביליות, את אלגברות הקווטרניונים, ואת אלגברות קיילי. על אלגברות אלה מוגדרת אינוולוציה סטנדרטית
, שאפשר להמשיך אותה גם לאלגברות של מטריצות מעליהן. ההעתקה
מ-A לשדה הסקלרים נקראת העתקת העקבה.
נניח שהמאפיין זר ל-6, ותהיינה A,B אלגברות מהנזכרות מעלה. נסמן ב- J את אלגברת ז'ורדן של כל המטריצות ההרמיטיות מסדר 3 מעל B (אם B מממד 8, זוהי אלגברת אלברט). נסמן ב-
וב-
את אוסף האיברים בעלי עקבה 0 ב-A וב-J, בהתאמה. בניית טיץ של A ו-B מחזירה את המרחב הווקטורי
, כאשר
היא אלגברת הנגזרות (וכך גם ל-J), עם פעולת כפל
ההופכת אותו לאלגברת לי, ומוגדרת כך ששני מרכיבי הנגזרות הם תת-אלגברות המתחלפות זו עם זו, ופועלות באופן טבעי על המרכיב הנותר:
כאשר
. פעולת הכפל בין אברי המכפלה הטנזורית מסובכת יותר:
, כאשר
.
אם A היא מן הטיפוס המציין שורה ו-B מן הטיפוס המציין עמודה, התוצאה היא אלגברת לי פשוטה (או, במקרה אחד, פשוטה למחצה), שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מצוין בריבוע הקסם.
מקורות
- Encyclopaedia of Mathematical Sciences 57, Algebra VI, Part II, E.N.Kuzmin and I.P.Shestakov, sec 3.3.
ראו גם
ריבוע הקסם של פרוידנטל31322000Q5503261