ריבוע הקסם של פרוידנטל
ריבוע הקסם של פרוידנטל הוא תבנית המארגנת בניה אחידה של כמה אלגברות לי, חלקן ספורדיות. הריבוע נקרא על-שם הנס פרוידנטל שפיתח את הבניה במקביל לז'אק טיץ. ריבוע הקסם מתאים לזוג אלגברות הרכב מעל הממשיים אלגברת לי, שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מוצג בריבוע, כדלקמן:
| $ \ \mathbb {O} $ | $ \ \mathbb {H} $ | $ \ \mathbb {C} $ | $ \ \mathbb {R} $ | |
|---|---|---|---|---|
| $ \ F_{4} $ | $ \ C_{3} $ | $ \ A_{2} $ | $ \ A_{1} $ | $ \ \mathbb {R} $ |
| $ \ E_{6} $ | $ \ A_{5} $ | $ \ A_{2}\!\oplus \!A_{2} $ | $ \ A_{2} $ | $ \ \mathbb {C} $ |
| $ \ E_{7} $ | $ \ A_{6} $ | $ \ A_{5}\quad $ | $ \ C_{3} $ | $ \ \mathbb {H} $ |
| $ \ E_{8} $ | $ \ E_{7} $ | $ \ E_{6}\quad $ | $ \ F_{4} $ | $ \ \mathbb {O} $ |
השורה האחרונה בריבוע כוללת את כל האלגברות הספורדיות, למעט $ \ G_{2} $, ומדגימה עד כמה קשורות האלגברות הספורדיות לאלגברת האוקטוניונים ($ \ G_{2} $ עצמה היא אלגברת הנגזרות של אלגברת האוקטוניונים).
בניית טיץ
כידוע, יש בדיוק ארבע אלגברות הרכב עם יחידה, ללא מחלקי אפס, מעל הממשיים: שדה הממשיים עצמו, $ \ \mathbb {R} $, שדה המספרים המרוכבים $ \ \mathbb {C} $, אלגברת הקווטרניונים של המילטון $ \ \mathbb {H} $ ואלגברת האוקטוניונים $ \ \mathbb {O} $. תיאור דומה נכון מעל כל שדה: פרט לשדה עצמו, אפשר למנות את ההרחבות הריבועיות הספרביליות, את אלגברות הקווטרניונים, ואת אלגברות קיילי. על אלגברות אלה מוגדרת אינוולוציה סטנדרטית $ \ x\mapsto {\bar {x}} $, שאפשר להמשיך אותה גם לאלגברות של מטריצות מעליהן. ההעתקה $ \ t(a)=a+{\bar {a}} $ מ-A לשדה הסקלרים נקראת העתקת העקבה.
נניח שהמאפיין זר ל-6, ותהיינה A,B אלגברות מהנזכרות מעלה. נסמן ב- J את אלגברת ז'ורדן של כל המטריצות ההרמיטיות מסדר 3 מעל B (אם B מממד 8, זוהי אלגברת אלברט). נסמן ב- $ \ A_{0} $ וב-$ \ J_{0} $ את אוסף האיברים בעלי עקבה 0 ב-A וב-J, בהתאמה. בניית טיץ של A ו-B מחזירה את המרחב הווקטורי $ \ \operatorname {Der} A\oplus A_{0}\otimes J_{0}\oplus \operatorname {Der} J $, כאשר $ \ \operatorname {Der} A $ היא אלגברת הנגזרות (וכך גם ל-J), עם פעולת כפל $ \ [\cdot ,\cdot ] $ ההופכת אותו לאלגברת לי, ומוגדרת כך ששני מרכיבי הנגזרות הם תת-אלגברות המתחלפות זו עם זו, ופועלות באופן טבעי על המרכיב הנותר: $ \ [a\otimes x,D+E]=D(a)\otimes E(x) $ כאשר $ \ a\in A_{0},x\in J_{0},D\in \operatorname {Der} A,E\in \operatorname {Der} J $. פעולת הכפל בין אברי המכפלה הטנזורית מסובכת יותר: $ \ [a\otimes x,b\otimes y]={\frac {1}{12}}\operatorname {tr} (xy)D_{a,b}+(ab)\otimes (xy)+{\frac {1}{2}}t(ab)[R_{x},R_{y}] $, כאשר $ \ D_{a,b}=R_{[x,y]}-L_{[x,y]}-3[L_{x},R_{y}] $.
אם A היא מן הטיפוס המציין שורה ו-B מן הטיפוס המציין עמודה, התוצאה היא אלגברת לי פשוטה (או, במקרה אחד, פשוטה למחצה), שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מצוין בריבוע הקסם.
מקורות
- Encyclopaedia of Mathematical Sciences 57, Algebra VI, Part II, E.N.Kuzmin and I.P.Shestakov, sec 3.3.
ראו גם
ריבוע הקסם של פרוידנטל31322000Q5503261