ריבוע הקסם של פרוידנטל הוא תבנית המארגנת בניה אחידה של כמה אלגברות לי, חלקן ספורדיות. הריבוע נקרא על-שם הנס פרוידנטל שפיתח את הבניה במקביל לז'אק טיץ. ריבוע הקסם מתאים לזוג אלגברות הרכב מעל הממשיים אלגברת לי, שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מוצג בריבוע, כדלקמן:
ריבוע הקסם
![{\displaystyle \ \mathbb {O} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef3a6c4b93302b094a2a711639cc939022227de) |
![{\displaystyle \ \mathbb {H} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df1a75c47e38354074ac9c1b5853cc24121e769) |
![{\displaystyle \ \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a21589f9f3e735a7f8c0590376eb7e0534e0949e) |
![{\displaystyle \ \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b55cc13b3f9195609b5cb3355291887d590306) |
|
![{\displaystyle \ F_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2181cf69fc8339d5ede327c436d8c516d21017bf) |
![{\displaystyle \ C_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f850b9aedbd292a17b43df9f2e21748c3d3cb8a5) |
![{\displaystyle \ A_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a72a6c8f033dfc84b3500f939755119059459d) |
![{\displaystyle \ A_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae582feb9b9a6a7dfe5aa49202c478799af9432) |
|
![{\displaystyle \ E_{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3707a58a1ac487805b1d7b7fdb48444390b4f356) |
![{\displaystyle \ A_{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b037f2dfbcc7eb803ce8858a734044e0c06e9d3) |
![{\displaystyle \ A_{2}\!\oplus \!A_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0f87bc40154f5599d6084a265485db9b7652ff) |
![{\displaystyle \ A_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1a72a6c8f033dfc84b3500f939755119059459d) |
|
![{\displaystyle \ E_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78fde8ec70a5373145ad3fb65260991776bd682) |
![{\displaystyle \ A_{6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985e84e8746022285cd9a2b06da09b34eab7e9ee) |
![{\displaystyle \ A_{5}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c64d05863018c21f182e2e438c7c675014666fa) |
![{\displaystyle \ C_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f850b9aedbd292a17b43df9f2e21748c3d3cb8a5) |
|
![{\displaystyle \ E_{8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3986743efd9ae4dc9fcbae08565180a5559894e1) |
![{\displaystyle \ E_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78fde8ec70a5373145ad3fb65260991776bd682) |
![{\displaystyle \ E_{6}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb5dd8c900048c64cfd16ce52c833f6dc52edd92) |
![{\displaystyle \ F_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2181cf69fc8339d5ede327c436d8c516d21017bf) |
|
השורה האחרונה בריבוע כוללת את כל האלגברות הספורדיות, למעט
, ומדגימה עד כמה קשורות האלגברות הספורדיות לאלגברת האוקטוניונים (
עצמה היא אלגברת הנגזרות של אלגברת האוקטוניונים).
בניית טיץ
כידוע, יש בדיוק ארבע אלגברות הרכב עם יחידה, ללא מחלקי אפס, מעל הממשיים: שדה הממשיים עצמו,
, שדה המספרים המרוכבים
, אלגברת הקווטרניונים של המילטון
ואלגברת האוקטוניונים
. תיאור דומה נכון מעל כל שדה: פרט לשדה עצמו, אפשר למנות את ההרחבות הריבועיות הספרביליות, את אלגברות הקווטרניונים, ואת אלגברות קיילי. על אלגברות אלה מוגדרת אינוולוציה סטנדרטית
, שאפשר להמשיך אותה גם לאלגברות של מטריצות מעליהן. ההעתקה
מ-A לשדה הסקלרים נקראת העתקת העקבה.
נניח שהמאפיין זר ל-6, ותהיינה A,B אלגברות מהנזכרות מעלה. נסמן ב- J את אלגברת ז'ורדן של כל המטריצות ההרמיטיות מסדר 3 מעל B (אם B מממד 8, זוהי אלגברת אלברט). נסמן ב-
וב-
את אוסף האיברים בעלי עקבה 0 ב-A וב-J, בהתאמה. בניית טיץ של A ו-B מחזירה את המרחב הווקטורי
, כאשר
היא אלגברת הנגזרות (וכך גם ל-J), עם פעולת כפל
ההופכת אותו לאלגברת לי, ומוגדרת כך ששני מרכיבי הנגזרות הם תת-אלגברות המתחלפות זו עם זו, ופועלות באופן טבעי על המרכיב הנותר:
כאשר
. פעולת הכפל בין אברי המכפלה הטנזורית מסובכת יותר:
, כאשר
.
אם A היא מן הטיפוס המציין שורה ו-B מן הטיפוס המציין עמודה, התוצאה היא אלגברת לי פשוטה (או, במקרה אחד, פשוטה למחצה), שהטיפוס של דיאגרמת דינקין שלה מצוין בריבוע הקסם.
מקורות
- Encyclopaedia of Mathematical Sciences 57, Algebra VI, Part II, E.N.Kuzmin and I.P.Shestakov, sec 3.3.
ראו גם
31322000ריבוע הקסם של פרוידנטל