הטענה הגאומטרית האחרונה של יעקובי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בגאומטריה דיפרנציאלית, הטענה הגאומטרית האחרונה של יעקובי היא השערה מתמטית של קרל גוסטב יעקב יעקובי. לפי ההשערה:

לכל קאוסטיקה הנוצרת ממתיחת קווים גאוזיים מנקודה לא אמבילית $ p $ על אליפסואיד יש בדיוק ארבע נקודות חוד.

בעוד שניסויים נומריים הובילו למסקנה שהטענה נכונה, רק ב-2004 היא הוכחה לראשונה על ידי המתמטיקאים Itoh ו-Kiyohara.

מאז היא הוכללה מן המקרה האליפסואידי למחלקה רחבה יותר של משטחים.

הסבר ההשערה

בהינתן נקודה נתונה $ p $ על משטח נתון, ניתן למתוח את כל הקווים הגאודזיים היוצאים מ-$ p $ החוצה. עבור משטח ספירי כל הקווים הגאודזיים הללו הם מעגלים גדולים ולפיכך היחסים ההדדיים ביניהם טריוויאליים - הם נפגשים רק בשתי נקודות אנטיפודיות. לעומת זאת, עבור נקודות לא אמביליות[1] על אליפסואיד, המבנה הלא סימטרי של המשטח מקנה למשפחת הגאודזות הנמתחות החוצה מהנקודה התנהגות מעניינת: שני גאודזות סמוכות[2] עשויות לשוב ולהיחתך בנקודה שנייה $ p' $, ולאחר מכן להיפגש שוב בנקודה שלישית $ p'' $, וכך הלאה. המקום הגאומטרי של כל נקודות החיתוך $ p' $ של גאודזות סמוכות הנמתחות מהנקודה $ p $ הוא עקומה סגורה המכונה הקאוסטיקה מסדר ראשון של הנקודה $ p $ על האליפסואיד. אז הטענה של יעקובי קובעת שלקאוסטיקה הזאת יש בדיוק ארבע נקודות חוד.

לקריאה נוספת

  • Sinclair, R. (2003). "On the last geometric statement of Jacobi". Experimental Mathematics. 12 (4): 477–485.

הערות שוליים

  1. "נקודה אמבילית" של משטח היא נקודה שבה המשטח נראה מקומית כמו כדור; כלומר, כל ערכי העקמומיות הנורמלית בנקודה זהים.
  2. כלומר, קרובות באופן אינפיניטסימלי.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

הטענה הגאומטרית האחרונה של יעקובי35522102Q6494792