הטענה הגאומטרית האחרונה של יעקובי
בגאומטריה דיפרנציאלית, הטענה הגאומטרית האחרונה של יעקובי היא השערה מתמטית של קרל גוסטב יעקב יעקובי. לפי ההשערה:
לכל קאוסטיקה הנוצרת ממתיחת קווים גאוזיים מנקודה לא אמבילית $ p $ על אליפסואיד יש בדיוק ארבע נקודות חוד.
בעוד שניסויים נומריים הובילו למסקנה שהטענה נכונה, רק ב-2004 היא הוכחה לראשונה על ידי המתמטיקאים Itoh ו-Kiyohara.
מאז היא הוכללה מן המקרה האליפסואידי למחלקה רחבה יותר של משטחים.
הסבר ההשערה
בהינתן נקודה נתונה $ p $ על משטח נתון, ניתן למתוח את כל הקווים הגאודזיים היוצאים מ-$ p $ החוצה. עבור משטח ספירי כל הקווים הגאודזיים הללו הם מעגלים גדולים ולפיכך היחסים ההדדיים ביניהם טריוויאליים - הם נפגשים רק בשתי נקודות אנטיפודיות. לעומת זאת, עבור נקודות לא אמביליות[1] על אליפסואיד, המבנה הלא סימטרי של המשטח מקנה למשפחת הגאודזות הנמתחות החוצה מהנקודה התנהגות מעניינת: שני גאודזות סמוכות[2] עשויות לשוב ולהיחתך בנקודה שנייה $ p' $, ולאחר מכן להיפגש שוב בנקודה שלישית $ p'' $, וכך הלאה. המקום הגאומטרי של כל נקודות החיתוך $ p' $ של גאודזות סמוכות הנמתחות מהנקודה $ p $ הוא עקומה סגורה המכונה הקאוסטיקה מסדר ראשון של הנקודה $ p $ על האליפסואיד. אז הטענה של יעקובי קובעת שלקאוסטיקה הזאת יש בדיוק ארבע נקודות חוד.
לקריאה נוספת
- Sinclair, R. (2003). "On the last geometric statement of Jacobi". Experimental Mathematics. 12 (4): 477–485.
הערות שוליים
הטענה הגאומטרית האחרונה של יעקובי35522102Q6494792