גל טרוכואידי

פני השטח של גל טרוכואידי (בכחול עמוק) המתקדם לצד ימין. המסלולים של האלמנטים בסמוך לפני המים הם מעגלים סגורים (בציאן), ווקטורי מהירות הזורם מוראים באדום (בעבור הנקודות השחורות). גובה הגל - ההבדל בין גובה השיא לגובה השפל, מסומן ב-H, אורך הגל ב-$\lambda$ ומהירות המופע ב-c.

במכניקת הזורמים, גל טרוכואידי או גל גרסטנר הוא פתרון מדויק של משוואות אוילר בעבור גלי כבידה מחזוריים בזורם. התאוריה של גלים טרוכואידים מתארת גל מתקדם בעל צורה קבועה על פני השטח של שכבת זורם בלתי דחיס בעלת עומק אינסופי. פני השטח של המים בפתרון הגלי הזה הם בצורת טרוכואיד מהופך - עם שיאים חדים יותר ושפלים שטוחים יותר. הפתרון הזה נתגלה לראשונה על ידי גרסטנר ב-1802, ונתגלה מחדש באופן בלתי תלוי על ידי ויליאם ג'ון מקורן רנקין ב-1863.

שדה הזרימה המקושר לגל הטרוכואידי אינו אי-רוטציוני – יש לו ערבוליות. הערבוליות היא בחוזק ופילוג אנכי כזה שהמסלולים של אלמנטי הזורם הם מעגלים מושלמים. זה עומד בניגוד לתצפית האמפירית השגרתית של סחיפת סטוקס המקושרת לתנועה הגלית. בנוסף, מהירות המופע של הגל אינה תלויה במשרעת הגל הטרוכואידי, בשונה מתאוריות גלים לא לינאריות אחרות (כמו אלו של גלי סטוקס וסוליטונים) ותצפיות שלהן. מסיבות אלו - כמו גם בשל העובדה שפתרון בעבור עומק סופי חסר - גלים טרוכואידים הם בעלי חשיבות מעשית מוגבלת לצרכים הנדסיים, וחשיבותם נחה בהיותם הדגמה חשובה לעקרונות התאוריה של גלי מים.

גזירת פרופיל הגל מעקרונות ראשוניים

נצא מההנחה שמסלולי אלמנטי הזורם הם מעגלים מושלמים ונסיק ממנה את צורת הגל. נתחיל מהתנאי הקינמטי על מהירות הזורם בפני המים (ראו גם תאוריית הגלים של איירי#גזירת פונקציית הפוטנציאל), כאשר הפעם לא נזניח את תלילות הגל:

$u_{z}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}$

כיוון שמסלול האלמנט הוא מעגל מושלם, נכון להניח ש-: $u_{z}=Vsin(kx-\omega t),u_{x}=Vcos(kx-\omega t)$.

כלומר מתקיים:

$Vsin(kx-\omega t)={\frac {\partial \eta }{\partial t}}+Vcos(kx-\omega t){\frac {\partial \eta }{\partial x}}$

אם נעזר בהנחה שהגל נע אופקית במהירות התקדמות קבועה, אז ניתן להראות ש-:

${\frac {\partial \eta }{\partial t}}=-c{\frac {\partial \eta }{\partial x}}$

כאשר c היא מהירות התקדמות הגל, וכך נקבל:

${\frac {\partial \eta }{\partial x}}={\frac {Vsin(kx-\omega t)}{-c+Vcos(kx-\omega t)}}$

ניזכר כעת בהצגה הפרמטרית של עקום טרוכואידי:

$x=a\theta -b\sin(\theta )\,$

$y=a-b\cos(\theta )\,$

ונקבל: $dx=(a-b\cos(\theta ))d\theta \,$

$dy=b\sin(\theta )d\theta \,$

כלומר:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {b\sin(\theta )}{a-b\cos(\theta )}}$

וזוהי בדיוק הצורה האלגברית של הפתרון שהתקבל לשיפוע פרופיל הגל! כלומר פני הגל הם בהכרח טרוכואידים. הפרמטר a של הטרוכואיד (רדיוס המעגל המתגלגל) הוא:

$a={\frac {\lambda }{2\pi }}$

בעוד הפרמטר b הוא מחצית גובה הגל $b={\frac {H}{2}}$.

שים לב גם שהפתרון הטרוכואידי מתכנס לפתרון הטריגונומטרי (היינו פונקציית סינוס) בגבול שבו היחס b/a שואף לאפס; כלומר גלים טרוכואידים מתכנסים לגלי איירי כאשר היחס בין אמפליטודת הגל לאורך הגל קטן מאוד.

השוואה עם תאוריות גלים אחרות

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

ראו גם

• תאוריית הגלים של איירי