מחלק

ערך זה עוסק בחלוקת מספרים. אם התכוונתם למחלק על משטח רימן, ראו משטח רימן.

במתמטיקה, מספר שלם a הוא מחלק (או גורם) של מספר שלם b אם אפשר לכתוב את b כמכפלה של a במספר שלם c, כלומר אם קיים $\mathbb {Z} \ni c$ כך ש- $b=ac$ . במקרה כזה, השארית בחלוקה של b ב-a היא 0. באופן פורמלי, נהוג לרשום $\ a\mid b$ או $\ a\nmid b$ כדי לציין ש- a מחלק או לא מחלק את b בהתאמה (לדוגמה, $5\mid 35$ אבל $5\nmid 33$ ). מהגדרה זו נובע באופן מיידי ש- $a\mid ka$ לכל $k$ שלם (הומוגניות), ובפרט $a\mid a$ (רפלקסיביות). כמו כן, לכל $k$ שלם $k\mid 0$ ובפרט $0\mid 0$ (כי $0=k\cdot 0$ ). חשוב לזכור שאמנם אפס מחלק את אפס אבל הפעולה החילוק באפס לא מוגדרת. בפרט הביטוי 0:0 לא מוגדר, כיוון שהשיוויון $0=0\cdot k$ מתקיים עבור כל מספר טבעי $k$ . בנוסף, היחס "לחלק את" הוא טרנזיטיבי, כיוון שאם $\ a\mid b$ וגם $\ b\mid c$ אז קיימים $\mathbb {Z} \ni k,l$ כך ש- $b=ka$ ו- $c=lb$ ומכאן $c=lka$ ולכן $\ a\mid c$ .

מהרפלקסיביות והטרנזיטיות נובע ששהיחס מהווה קדם סדר מעל השלמים. היחס אינו יחס סדר חלקי מעל השלמים, כיוון שהוא לא אנטי-סימטרי (למשל $5\mid -5$ וגם $-5\mid 5$ ). יחד עם זאת, היחס “מחלק-את” מעל הטבעיים הוא אנטי סימטרי כיוון שלכל $\mathbb {N} \ni a,b$ אם $\ a\mid b$ וגם $\ b\mid a$ אז $\ a\leq b$ וגם $\ b\leq a$ ומכאן $a=b$ . לכן הוא סדר חלקי (חלש) מעל המספרים הטבעיים.

בנוסף, תכונה נוספת של המחלק היא לינאריות, כלומר אם $a\mid b$ וגם $a\mid c$ אז לכל $\mathbb {Z} \ni n,m$ מתקיים $a\mid mb+nc$ . לצורך הוכחת הלינאריות נוכיח תחילה את תכונת האדיטיביות, כלומר אם $a\mid b$ וגם $a\mid c$ אז $a\mid b+c$ . אם $a\mid b,c$ אז $b=ak$ ו- $c=al$ ומכאן $b+c=a(k+l)$ , לכן $a\mid b+c$ . מתכונת הלינאריות ותכונת ההומגניות שהוכחנו קודם נובעת תכונת הלינאריות, כלומר: אם $a\mid b,c$ אז $a\mid mb$ וגם $a\mid nc$ (הומגניות), ומכאן $a\mid mb+nc$ (אדיטיביות).

למושג המחלק המשותף המקסימלי של שני מספרים יש חשיבות רבה בתורת המספרים האלמנטרית.

המשפט היסודי של האריתמטיקה, לפיו כל מספר טבעי יכול להיכתב כמכפלה ייחודית של מספרים ראשוניים, פרט לשינוי הסדר של הגורמים, גורם לעניין מוגבר במספרים הראשוניים המחלקים מספר נתון, כלומר בגורמים הראשוניים שלו.

מספר המחלקים הטבעיים של מספר טבעי

נסמן ב- $\ d(n)$ את הפונקציה הסופרת את מספר המחלקים של מספר טבעי $0\neq n$ , שפירוקו לגורמים מיוצג בצורה:

$\!\,n={p_{1}}^{x_{1}}\cdot {p_{2}}^{x_{2}}\cdot {p_{3}}^{x_{3}}\cdot ...\cdot {p_{n}}^{x_{n}}$

כאשר המספרים $\!\,p_{1},...,p_{n}$ ראשוניים, והמספרים $\!\,x_{1},...,x_{n}$ שלמים. נשים לב, שכל מחלק של $n$ הוא מהצורה $\ {p_{1}}^{y_{1}}\cdot {p_{2}}^{y_{2}}\cdot {p_{3}}^{y_{3}}\cdot ...\cdot {p_{n}}^{y_{n}}$ כאשר $\ 0\leq y_{i}\leq x_{i}$ . כמו כן, על פי המשפט היסודי של האריתמטיקה ייצוג זה הוא יחיד. לכן לפי עקרון הכפל:

$\ d(n)=(x_{1}+1)(x_{2}+1)(x_{3}+1)\cdot ...\cdot (x_{n}+1)$

מכאן, פונקציית המחלקים $\ d(n)$ היא פונקציה כפלית.

לדוגמה ניקח את המספר 12. ברור כי למספר 12 יש בדיוק שישה מחלקים טבעיים: 1,2,3,4,6,12
נציג את המספר כמכפלה של ראשוניים: $\!\,2^{2}\cdot 3^{1}$ , על פי המשפט נובע כי למספר 12 יש בדיוק: $\!\,(2+1)\cdot (1+1)=3\cdot 2=6$ מחלקים טבעיים.

חשוב להדגיש שאם רוצים לספור את מספר המחלקים השלמים (לא בהכרך חיוביים) של מספר שלם $n$ , הם יהיו פי 2 ממספר המחלקים הטבעיים של $|n|$ . מכיוון שלכל מחלק טבעי ניתן להוסיף את הנגדי לו.

לדוגמה עבור $-12$ , המחלקים הם: $1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,12,-12$ (בדיוק 12, שהם פי 2 ממספר המחלקים הטבעיים של 12)

הכללה

כאשר עוסקים בחוג כלשהו, גם כן ניתן לדבר על יחס של חלוקה. נאמר כי איבר $\ a$ הוא מחלק של איבר $\ b$ אם קיים בחוג איבר $\ c$ כך ש- $\ b=ac$ . למשל בחוג הפולינומים במקדמים שלמים, הפולינום $\ x+1$ מחלק את $\ x^{3}-x$ , כי $\ x^{3}-x=(x+1)(x^{2}-x)$ .