מרחב שרפינסקי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף מרחב סירפינסקי)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בטופולוגיה, מרחב שרפינסקי הוא מרחב טופולוגי בעל שני איברים. חשיבותו בהיותו דוגמה נגדית פשוטה לטענות רבות בטופולוגיה. זוהי הטופולוגיה הקטנה ביותר שאינה טריוויאלית או דיסקרטית.

המרחב נקרא על שם המתמטיקאי הפולני ואצלב שרפינסקי.

הגדרה

מרחב שרפינסקי הוא קבוצה $ X=\{a,b\} $ יחד עם הטופולוגיה $ \tau =\{\phi ,\{a\},\{a,b\}\} $. בדיקה ישירה של כל האפשרויות לאיחוד וחיתוך מראה שזהו אכן מרחב טופולוגי.

שתי הטופולוגיות האפשריות האחרות על $ X=\{a,b\} $ הן הטופולוגיה הטריוויאלית והטופולוגיה הדיסקרטית. הטופולוגיה $ \tau =\{\phi ,\{b\},\{a,b\}\} $ הומאומורפית לטופולוגיה שהוגדרה לעיל.

תכונות

הכללה

ניתן להכליל את המרחב הנ"ל לכל קבוצה לא ריקה $ X $, כאשר בהינתן $ a\in X $ מגדירים את הטופולוגיה $ T=\{\phi ,\{a\},X\} $. מרחב זה מקיים חלק מן התכונות שהובאו לעיל.

כמות המרחבים הללו היא כעוצמת הקבוצה $ X $, אך כולם הומיאומורפיים.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מרחב שרפינסקי33749647Q2119470