רשת (טופולוגיה)

בטופולוגיה, רשת היא מערכת של נקודות המכלילה את מושג הסדרה. כפי שסדרה במרחב X היא למעשה פונקציה מקבוצת המספרים הטבעיים אל X, כך רשת היא פונקציה אל המרחב המוגדרת על קבוצה מכוונת כלשהי. על רשתות אפשר להגדיר את מושג ההתכנסות, המכליל את ההתכנסות של סדרות. את המושג הגדירו Moore ו-Smith ב-1922.

הצורך ברשתות נובע מכך שסדרות אינן חזקות מספיק על-מנת לתפוס מושגים טופולוגיים כלליים. לדוגמה, אם X,Y הם מרחבים טופולוגיים ו-$\ f:X\rightarrow Y$ פונקציה רציפה, אז התמונה תחת f של סדרה מתכנסת ב-X היא סדרה מתכנסת ב-Y. התכונה האחרונה מספיקה כדי להבטיח את הרציפות של f אם X,Y מקיימים את תכונת המניה הראשונה, אבל לא במקרה הכללי. בניגוד לכך, הרציפות של f שקולה לכך שהיא מעבירה כל רשת מתכנסת לרשת מתכנסת.

הכללה אחרת למושג ההתכנסות עושה שימוש במסננים.

הגדרה

קבוצה עם יחס סדר חלקי היא קבוצה מכוונת, אם לכל שני אברים a,b יש חסם עליון, כלומר c כך ש-$\ a,b\leq c$. המספרים הטבעיים הם קבוצה מכוונת, אבל בניגוד להם הסדר על קבוצה מכוונת אינו צריך להיות לינארי.

רשת במרחב טופולוגי X היא פונקציה מקבוצה מכוונת אל X. כמו במקרה של סדרות, מתייחסים אל הקבוצה המכוונת כאל קבוצת אינדקסים, כך שאפשר לדבר על "האיבר הנמצא במקום $\ \alpha$" לכל $\ \alpha$ בקבוצה המכוונת.

הדוגמה הפשוטה ביותר לרשת (אינסופית) היא סדרה. הדוגמה הבאה מסבירה את האפקטיביות של רשתות בטופולוגיה הכללית: עבור נקודה x במרחב טופולוגי X, נתבונן באוסף הסביבות הפתוחות של x, ביחס להכלה ההפוכה (סביבה אחת "גדולה" מרעותה אם היא מוכלת בה). זוהי קבוצה מכוונת, משום שהחיתוך של כל שתי סביבות פתוחות הוא סביבה פתוחה ("גדולה" משתי הסביבות המקוריות). לפיכך, אם בוחרים בכל סביבה U של x נקודה $\ x_{U}\in U$, מתקבלת רשת, שהנקודות שלה, כביכול, הולכות ומתקרבות אל x. את ההתכנסות של רשתות מגדירים כך שרשתות מסוג זה תתכנסנה. (דוגמה זו מציגה גם את התפקיד המפורש כמעט שמשחקת אקסיומת הבחירה בטופולוגיה כללית).

גבולות של רשתות

אם (x_α) היא רשת מקבוצה מכוונת D אל המרחב X, ואם U תת-קבוצה של X, אומרים שהרשת "ב-U לבסוף" אם קיים $\ \alpha \in D$ כך שלכל $\ \beta \geq \alpha$ מתקיים $\ x_{\beta }\in U$. אומרים שהרשת מתכנסת אל x (או ש-x היא גבול של הרשת) אם לכל סביבה U של x, הרשת ב-U לבסוף.

אם נתון בסיס לטופולוגיה, הרשת (x_α) מתכנסת לנקודה x אם ורק אם היא נמצאת לבסוף בכל קבוצת בסיס ש-x שייך אליה.

אומרים שרשת (x_α) "נמצאת ב-U לעיתים קרובות", אם לכל $\ \alpha \in D$ קיים $\ \beta \geq \alpha$ כך ש-$\ x_{\beta }\in U$. אם הרשת נמצאת בכל סביבה של נקודה x לעיתים קרובות, אז x דבוקה לרשת. כל נקודת גבול דבוקה לרשת, אבל ההיפך אינו נכון.

תכונות

בזכות רשת הסביבות של נקודה, ניתן לתרגם כמעט כל תכונה טופולוגית לשפת הרשתות והגבולות שלהן. להלן כמה דוגמאות מרכזיות.

• פונקציה $\ f:X\rightarrow Y$ היא רציפה אם ורק אם לכל רשת $\ (x_{\alpha })$ המתכנסת לנקודה x, גם $\ f(x_{\alpha })$ מתכנסת ל-$\ f(x)$.
• במרחב האוסדורף, לכל רשת מתכנסת יש גבול יחיד. גם ההיפך נכון: אם לכל רשת מתכנסת יש גבול יחיד, המרחב הוא האוסדורף. (לעומת זאת, התכונה "לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד" חלשה יותר; מרחבים המקיימים אותה נקראים מרחבי-US; ראה סדרה מתכנסת).
• הסגור של קבוצה A במרחב X שווה לאוסף הגבולות של רשתות ב-A (ולכן קבוצה A היא סגורה אם ורק אם היא מכילה את כל הגבולות לרשתות מתכנסות של נקודות ממנה).
• אוסף הנקודות הדבוקות לרשת שווה לאוסף הגבולות של תת-הרשתות המתכנסות שלה (תת-רשת היא רשת המוגדרת על תת-קבוצה של הקבוצה המכוונת של האינדקסים, שהיא קבוצה מכוונת בזכות עצמה).
• רשת מתכנסת, אם ורק אם כל תת-רשת שלה מתכנסת.
• המרחב X קומפקטי אם ורק אם לכל רשת ב-X יש נקודה דבוקה, אם ורק אם לכל רשת יש תת-רשת מתכנסת (החלפת רשת בסדרה נותנת כאן שתי תכונות שונות: מרחב שבו לכל סדרה יש נקודה דבוקה הוא קומפקטי מנייתית, ומרחב שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת הוא קומפקטי סדרתית; שתי התכונות שקולות אם למרחב יש תכונת המניה הראשונה).
• לרשת במרחב מכפלה יש גבול אם ורק אם לכל היטל שלה יש גבול (אבחנה זו מספקת הוכחה מהירה למשפט המכפלה של טיכונוף).