גאומטריית נהגי המוניות

שלושה מסלולים שונים, שווים באורכם, המראים את המרחק בין שתי נקודות.

גאומטריית נהגי המוניות הוא כינוי למרחב מטרי, שבו מודדים את המרחקים על-פי אילוצי הנסיעה של נהג מונית, במקום ב"מעוף הציפור".

מקור שמה של גאומטריית נהגי המוניות (הידועה גם בשם "גאומטריית מנהטן") בתנועתו של נהג הנוסע בעיר הבנויה כולה מגושי בניינים מלבניים (כמנהטן), שכל כבישיה מאונכים ומקבילים אלה לאלה. מאחר שלא יוכל לעבור דרך הבניינים, יאלץ הנהג לנסוע תמיד בכיוון צפון־דרום או מזרח־מערב. לכן, אורך המסלול אותו יעבור נהג כזה יהיה שווה בדיוק לסכום המרחקים אותם עבר בנסיעה מערבה והמרחקים אותם עבר בנסיעה צפונה. האנלוגיה למנהטן מטעה במקצת, משום שבמנהטן הנהג יכול להגיע רק לנקודות מסוימות – אלה הנמצאות על הכביש. בגאומטריית נהגי המוניות ניתן להגיע לכל נקודה במישור, וההגבלה היחידה היא שהתנועה היא במקביל לאחד משני הצירים.

מטריקת מנהטן

מרחק בין שתי נקודות $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ הוא אורכו של המסלול הקצר ביותר המחבר ביניהן.

ההבדל הבסיסי בין גאומטריית נהגי המוניות לגאומטריה האוקלידית הוא בהגדרת המרחק בין שתי נקודות.

בגאומטריה אוקלידית, מסלול זה הוא של הקו הישר המחבר ביניהן, שאורכו, לפי משפט פיתגורס:

$${\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$$

בגאומטריית נהגי המוניות, "התנועה" נעשית רק במקביל לאחד משני הצירים – על מנת לעבור מנקודה אחת לאחרת, יש לנוע מרחק מסוים ימינה (במקביל לציר $x$) ומרחק מסוים מעלה (במקביל לציר $y$), כך שהמסלול שנבחר כקצר ביותר בגאומטריה האוקלידית (אלכסון) אינו חוקי כאן.

לכן, המרחק בין שתי הנקודות $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ יהיה:

$$|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$$

(האיבר המחובר מימין מייצג את התנועה במקביל לציר $y$ , וזה משמאל את התנועה במקביל לציר $x$ .)

במתמטיקה מקובלת הכללה למושג המרחק, הקרויה מטריקה: פונקציה $m$ המקבלת שתי נקודות ומחזירה את המרחק ביניהן, ומקיימת מספר תכונות:

1. אי־שליליות: המרחק בין כל שתי נקודות שונות תמיד חיובי, והמרחק בין נקודה לעצמה שווה ל־0.
2. סימטריה: המרחק בין שתי נקודות לא תלוי בכיוון התנועה: $m(a,b)=m(b,a)$ .
3. אי-שוויון המשולש: לא ניתן לקצר את הדרך בין שתי נקודות באמצעות מעבר דרך שלישית: $m(a,b)\leq m(a,c)+m(c,b)$ .

ניתן לראות שגם המרחק הרגיל (זה של הגאומטריה האוקלידית) וגם המרחק בגאומטריית נהגי המוניות (שאותו נכנה "מטריקת מנהטן") מקיימים דרישות אלה – כלומר, כל אחד מהם הוא מטריקה.

מהגדרתה של מטריקת מנהטן ניתן לראות, שהמרחק בין שתי נקודות תלוי בכיוון של מערכת הצירים שבה הן נמצאות, אך אינו תלוי בהזזה של מערכת הצירים או בהחלפתה בתמונת ראי שלה.

מעגל הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת שווה לגודל נתון (רדיוס המעגל). בגאומטריית נהגי המוניות, מעגל הוא ריבוע, שצלעותיו יוצרות זווית של 45 מעלות עם מערכת הצירים.

טריגונומטריית נהגי המוניות

בדומה לסינוס ולקוסינוס בגאומטריה האוקלידית, בגאומטריית נהגי המוניות מוגדרים היחסים קוסינוס לינארי וסינוס לינארי באופן הבא:

במשולש ישר-זווית שניצביו $a,b$ מקבילים לצירים $xy$ והיתר שלו הוא $c$ , מגדירים

1. קוסינוס לינארי: ${\frac {a}{|c|}}={\frac {a}{|a|+|b|}}$
2. סינוס לינארי: ${\frac {b}{|c|}}={\frac {b}{|a|+|b|}}$

דוגמאות נוספות למרחק נהגי המוניות

שחמט

תנועתו של הצריח בשחמט מתבצעת במאונך ובמאוזן בלבד, ולכן, מרחקו מכל משבצת בלוח נמדד כבגאומטריית נהגי המוניות. בדומה, גם תנועתו של הרץ (בסריג המשבצות מצבע נתון) מתבצעת גם היא בשני כיוונים המאונכים זה לזה.

מרחק המינג

לכל שתי מחרוזות בינאריות $x,y$ מאורך זהה, מוגדר 'מרחק המינג' כמספר המקומות בהן נבדלות שתי המחרוזות. למשל, מרחק המינג בין שתי המחרוזות:

${\begin{aligned}x&=10{\color {red}0}1{\color {red}0}01\\y&=10{\color {red}1}1{\color {red}1}01\end{aligned}}$

הוא 2. (המקומות בהן נבדלות שתי המחרוזות מסומנים בכחול)

מרחק זה נמדד כבגאומטריית נהגי המוניות במרחב $\{0,1\}^{n}$ (אוסף כל הסדרות הבינאריות מאורך $n$).

ראו גם

• מרחב מטרי
• מטריקה
• מרחב נורמי
• נורמה

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0