בעיית וארינג

בתורת המספרים, בעיית וארינג שואלת האם לכל מספר טבעי $k$ קיים חסם עליון $s$ על מספר החזקות ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} -יות של מספרים טבעיים, הנדרשות כדי להציג כל מספר טבעי. את הבעיה הציע בשנת 1770 אדוארד וארינג.

הילברט הוכיח שאכן כך הדבר בשנת 1909. על כן אפשר להגדיר פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(k)} , כך שכל מספר טבעי אפשר להציג כסכום של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(k)} חזקות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} -יות, אבל לא כסכום של פחות מכך. חישוב פשוט מראה שכדי להציג את המספר 7 דרושים 4 ריבועים, עבור 23 דרושים 9 מספרים בחזקה השלישית, וכדי להציג את 79 דרושים 19 מספרים בחזקה הרביעית. אלו הם חסמים תחתונים על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(k)} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=2,3,4} בהתאמה.

משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' אומר שניתן להציג כל מספר טבעי כסכום של לכל היותר ארבעה ריבועים; מכיוון ש-7 דורש ארבעה ריבועים, הרי נובע מכך כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(2)=4} . ההשערה של משפט זה הוצעה בשנת 1640 על ידי פרמה.

במהלך השנים נקבעו חסמים נוספים, בשימוש בטכניקות מתוחכמות ומסובכות יותר ויותר. לדוגמה, ליוביל הראה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(4)} הוא לכל היותר 53. הארדי וליטלווד הראו שכל מספר גדול מספיק הוא סכום של לכל היותר 19 מספרים בחזקה הרביעית.

ויפריך וקמפנר הראו כי $g(3)=9$ בעבודתם בין השנים 1909 עד 1912. בשנת 1986 הוכיחו בלאסוברמיאן, דרס, ודשויירז כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(4)=19} . ג'נגרון הראה כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(5)=37} בשנת 1964. פילאי הוכיח כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(6)=73} בשנת 1940.

במהלך שנות ה-50, הוכיח יורי ליניק את קיום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(k)} בכלים אלמנטריים תוך שימוש בצפיפות שנירלמן.

כל הערכים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} ידועים כיום, הודות לעבודתם של דיקסון, פילאי, רבגנדיי וניבן. הנוסחה שלהם היא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(k)=\left\lfloor1.5^k\right\rfloor+2^k-2} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k\ge6} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lfloor x\rfloor} הוא הערך השלם של $x$, שהוא המספר השלם הגדול ביותר שאינו עולה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} . הנוסחה בעצם יותר מסובכת כי במקרה ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1.5^k-\left\lfloor1.5^k\right\rfloor>1-0.75^k} אזי הנוסחה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(k)} שונה, אמנם עד עכשיו לא מצאו אף מספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k\ge6} כזה, ונבדקו כל המספרים שהם קטנים מ-471600000, וידוע שיש ככל האפשר מספר סופי של יוצאי דופן כאלה.

ערכי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(k)} הראשונים הם:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223 ,8384, 16673, 33203, 66190, 132055, ...

בעיה דומה, אבל קשה בהרבה, שואלת מהו המספר הקטן ביותר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(k)} של חזקות-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} הדרוש להצגת כל המספרים פרט למספר סופי של יוצאי דופן (או בניסוח שקול: המספר הקטן ביותר הדרוש כדי להציג כל מספר גדול מספיק). ברור כי $G(k)\leq g(k)$. שלא כמו בפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(k)} , מספרים בעייתיים כגון 23 או 79 אינם מסייעים בהערכה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(k)} , והערכים המדויקים של פונקציה זו אינם ידועים (פרט ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(2)=g(2)=4} שנובע מעבודתם של לגראנז' וגאוס, שאפיינו את כל המספרים שאפשר להציג בשלושה ריבועים, ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G(4)=16} שהוכח על ידי דוונפורט בשנת 1939). עבור חזקות שלישיות ידוע רק כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4\le G(3)\le7} (נכון ל-2005).

עוד פונקציה דומה נקראת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^+(k)} (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G_1(k)} בעבודות של וולי) שהיא המספר הקטן ביותר של חזקות-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} הדרוש להצגת כמעט כל המספרים (כלומר, שהיחס בין מספר יוצאי הדופן שקטנים מ-$n$ ובין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} יתכנס ל-0 כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ילך ויגדל). ברור כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^+(k)\le G(k)} . נכון ל-2006 ידוע 5 ערכים מדויקים של פונקציה זו בנוסף ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^+(2)=g(2)=4} , והם

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^+(3)=4,G^+(4)=15,G^+(8)=32,G^+(16)=64,G^+(32)=128}

חזקות עד כדי סימן

וריאציה של בעיית וארינג שואלת עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} קבוע, מהו המספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s} הקטן ביותר כך שלכל מספר יש הצגה בצורה הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \pm n_{1}^{k}\pm \cdots \pm n_{s}^{k}} . את המספר הזה מסמנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(k)} . ידוע כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v(2)=3} , אך הערך המדויק של הפונקציה אינו יודע בשום מקרה אחר. למשל, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4\le v(3)\le5} : כל מספר אפשר להציג כסכום של 5 חזקות שלישיות (של מספרים שלמים, לאו דווקא חיוביים), ולא ידוע האם די ב-4 חזקות.

קישורים חיצוניים

• בעיית וארינג, באתר MathWorld (באנגלית)   
• הוכחתו של יורי ליניק: [1].
• Hardy and Wright, פרקים XX ו-XXI.
• 
  שגיאות פרמטריות בתבנית:בריטניקה
  פרמטרי חובה [ 1 ] חסרים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

37997104בעיית וארינג