צפיפות שנירלמן

בתורת המספרים, צפיפות שנירלמן היא מדד לצפיפות של קבוצת מספרים בתוך קבוצת המספרים הטבעיים. זהו מדד מרכזי בתורת המספרים האדיטיבית, העוסקת בשאלות כמו השערת גולדבך, בעיית וארינג ומשפט ארבעת הריבועים של לגראנז', המבקשות להציג מספר כסכום של מספרים מקבוצה נתונה.

הגדרה ודוגמאות

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\sub\N} קבוצת מספרים, אפשר לסמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(n)=\{a\in A:1\le a\le n\}} את הרישא המתאימה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} . הצפיפות של $A$ קשורה, באופן אינטואיטיבי, בקצב הגידול של הקבוצות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A(n)} . ב-1931 הציע המתמטיקאי הרוסי לב שנירלמן לבחון את מידת הצפיפות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta(A)=\inf\frac{|A(n)|}{n}} , כלומר, המספר הגדול ביותר המקיים את התנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |A(n)|\ge\delta\cdot n} לכל $n$ . מדד זה נקרא "צפיפות שנירלמן" של הקבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} .

דוגמאות. לכל קבוצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\le\delta(A)\le1} . הצפיפות שווה ל-1 אם ורק אם $A$ כוללת את כל המספרים הטבעיים (מאחד ואילך). הצפיפות של כל קבוצה סופית היא 0, אבל זוהי גם הצפיפות של קבוצות גדולות כמו קבוצת כל הריבועים או הראשוניים. לכל קבוצה שאינה כוללת את המספר 1 יש צפיפות 0. הצפיפות של הסדרה האריתמטית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+n\N} היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac1n} .

תכונות ושימושים

בניגוד למדדים אחרים, מדד שנירלמן רגיש מאד לערכים ההתחלתיים של $A$ .

למשל, מדדים כמו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \liminf_{n\to\infty}\frac{|A(n)|}{n},\limsup_{n\to\infty}\frac{|A(n)|}{n}} (גבול תחתון או גבול עליון) אינם משתנים כאשר מסירים קבוצה סופית מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} , או כאשר מוסיפים קבוצה כזו, ואף לא כאשר מזיזים את הקבוצה כולה בהפרש קבוע. צפיפות שנירלמן עשויה להשתנות בכל המקרים האלה.

למרות חסרונות תאורטיים אלה, ואולי דווקא בשלהם, הפך המדד שהציע שנירלמן לכלי מרכזי בתורת המספרים האדיטיבית. שנירלמן הצליח להראות, בעזרת שיטת הנפה, שלקבוצה $P+P$ יש צפיפות חיובית, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} היא קבוצת המספרים הראשוניים (יחד עם 0 ו-1) (הסכום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A+B} מהווה סימון מקובל לאוסף כל הסכומים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b} כאשר $a\in A,b\in B$). כתוצאה מכך הוא יכול היה להסיק שכל מספר שלם אפשר להציג כסכום של עד 300,000 ראשוניים, או פחות. התוצאה רחוקה מאד מזו שקיווה לה גולדבך, ובכל זאת זה היה הצעד המשמעותי הראשון לפתרון השערת גולדבך, מאז הועלתה ההשערה, כמעט 200 שנה קודם לכן.

משפטים מרכזיים בתחום

כדי להוכיח תוצאה זו, חקר שנירלמן כמה תכונות כלליות של מדד הצפיפות שלו, עבור קבוצות המכילות את המספר 0. הוא הוכיח שאם $A,B$ קבוצות המקיימות את התנאי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta(A)+\delta(B)\ge1} , אז הסכום $A+B$ מכיל את כל המספרים הטבעיים. בנוסף הראה שנירלמן שלכל שתי קבוצות (המכילות את 0), מתקיים $\delta (A+B)\geq \delta (A)+\delta (B)-\delta (A)\delta (B)$ . אם נסמן $mA=A+\cdots +A$ (כל הסכומים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} ערכים מ-$A$), אז מהטענה האחרונה נובע כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1-\delta(mA)\le\bigl(1-\delta(A)\bigr)^m} , כלומר, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} קבוצה בעלת צפיפות חיובית, אז הצפיפות של $mA$ עולה על חצי עבור $m$ גדול מספיק. בשילוב עם הטענה הראשונה, נובע מכאן שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2m} איברים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} , לכל היותר. נכון שבדרך כלל החסם המתקבל הוא הערכה גרועה, ואפשר להציג כל מספר טבעי כסכום של מספר קטן יותר של איברים. ובכל זאת, זוהי ההוכחה הקלה ביותר לכך שבקבוצה בעלת צפיפות חיובית אפשר לכסות, בסופו של דבר, את כל המספרים הטבעיים (קבוצות בעלות התכונה האחרונה נקראות בתורת המספרים האדיטיבית "בסיסים").

שנירלמן ואדמונד לנדאו שיערו כבר ב-1931 שאפשר להוכיח $\delta (A+B)\geq \delta (A)+\delta (B)$ לכל שתי קבוצות שסכום צפיפויותיהן קטן מ-1 (והמכילות את 0). חוקרים רבים ניסו כוחם בפתרון השערה זו, עד ש-H.B.Mann, שלמד את תורת המספרים האדיטיבית אצל אלפרד בראוור, מצא לה הוכחה ב-1941, ועל כך זכה בפרס קול של האגודה האמריקאית למתמטיקה ב-1946.

צפיפות שנירלמן ממשיכה להוות כלי חשוב בתורת המספרים האדיטיבית, ואף בתחומים רחבים יותר של האריתמטיקה. בין התוצאות הידועות מצוי לדוגמה משפט של פאול ארדש ו-van der Corput, שלפיו ישנם אינסוף מספרים איזוגיים שאינם ניתנים להצגה כסכום של מספר ראשוני וריבוע; הם הראו שלקבוצת המספרים האלה יש צפיפות חיובית.

ראו גם

• צפיפות (תורת המספרים)
• צפיפות דיריכלה
• משפטי שנירלמן