חסם (מתמטיקה)

במתמטיקה, חֶסֶם של תת-קבוצה של קבוצה סדורה הוא איבר של הקבוצה הסדורה כך שמתקיים אחד משניים: או שהוא גדול או שווה לכל אחד מאברי התת-קבוצה, או שהוא קטן או שווה לכל אחד מאברי התת-קבוצה. קבוצה חסומה היא קבוצה שיש לה חסם מלעיל וחסם מלרע.

חסם יכול להיות שייך לקבוצה שאותה הוא חוסם, אך גם לא להיות שייך לה. למשל, חסם של הקבוצה {1,2,3} הוא 4, כי הוא גדול מכל אברי הקבוצה, אף שאינו שייך לקבוצה. לעומתו 3 הוא גם חסם של הקבוצה, וגם שייך לה.

אם קיים בקבוצה איבר שגדול מכל שאר איבריה הוא נקרא "מקסימום", ואם קיים איבר שקטן מכל שאר איברי הקבוצה הוא נקרא "מינימום". המקסימום, אם קיים, הוא החסם מלעיל הקטן ביותר, והמינימום הוא החסם מלרע הגדול ביותר. בקבוצות אינסופיות לא תמיד קיימים מקסימום ומינימום, לדוגמה לכל קטע פתוח על הישר הממשי לא קיימים מינימום ומקסימום. עם זאת, תמיד קיימים סופרמום ואינפימום שמכלילים את תכונותיהם של המקסימום והמינימום במובן של היותם חסמים הדוקים.

לעיתים מחפשים חסם הדוק, שהוא החסם "המדויק ביותר", במובן זה שהוא גדול או קטן מכל אברי הקבוצה כך שאין חסם "טוב יותר", כלומר כזה שנמצא בינו ובין אברי הקבוצה. לכל קבוצה חסומה של מספרים ממשיים קיים חסם שכזה, והלמה של צורן מבטיחה קיום של חסם כזה גם בקבוצות כלליות יותר, בהינתן תנאים מסוימים.

הגדרה פורמלית

תהא $\ (X,\leq )$ קבוצה סדורה ותהא $\ A\subseteq X$ תת-קבוצה שלה.

• איבר $\ x\in X$ ייקרא חסם מלעיל של $\ A$ אם לכל $\ a\in A$ מתקיים $\ a\leq x$.
• איבר $\ x\in X$ ייקרא חסם מלרע של $\ A$ אם לכל $\ a\in A$ מתקיים $\ x\leq a$.

יש חשיבות רבה לחסם מלעיל "הקטן ביותר" ולחסם מלרע "הגדול ביותר", ולכן יש להם שמות משל עצמם:

• חסם מלעיל $\ x$ של $\ A$ ייקרא חסם עליון (סוּפְּרִמוּם) של $\ A$ אם לכל חסם מלעיל $\ y$ של $\ A$ מתקיים $\ x\leq y$.

נהוג לסמן את החסם העליון של $\ A$ ב-$\sup A$.

אם $x\in A$ אז $\ x$ יקרא המקסימום של A ומסמנים $x=\max A$.

• חסם מלרע $\ x$ של $\ A$ ייקרא חסם תחתון (אִינְפִימוּם) של $\ A$ אם לכל חסם מלרע $\ y$ של $\ A$ מתקיים $\ y\leq x$.

נהוג לסמן את החסם התחתון של $\ A$ ב-$\inf A$.

אם $x\in A$ אז $\ x$ יקרא המינימום של A ומסמנים $x=\min A$.

דוגמאות

• לקבוצת המספרים הטבעיים יש מינימום (המספר 1), אך אין לה חסם מלעיל.
• לקבוצת המספרים השלמים אין חסם מלעיל ואין חסם מלרע.
• לקבוצת המספרים הממשיים שבקטע הסגור [0,1] יש מינימום (0) ומקסימום (1) - זו קבוצה חסומה.
• לקבוצת המספרים הממשיים שבקטע הפתוח (0,1) יש חסם תחתון (0) וחסם עליון (1), ולכן זו קבוצה חסומה, אך אין לה מינימום ומקסימום.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

29201263חסם (מתמטיקה)