הפרדוקס של בורלי-פורטי

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הפרדוקס של בורלי-פורטי הוא פרדוקס שהציע המתמטיקאי האיטלקי צ'זארה בורלי-פורטי בשנת 1897. הפרדוקס מראה כי אוסף כל הסודרים גדול מכדי להוות קבוצה בתורת הקבוצות, בדומה לפרדוקס קנטור, הקובע שאוסף כל הקבוצות גדול מכדי להוות קבוצה.

הוכחה

נניח בשלילה שהסודרים מהווים קבוצה A, עם סדר ההשוואה הרגיל. לפי התכונות היסודיות של הסודרים, הקבוצה A סדורה היטב, ויש סודר p המתאים לה. אבל p הוא איבר של A, והוא איזומורפי לקבוצת כל הסודרים הקטנים מ-p ב-A, שהיא קטע התחלי[1] של A. לכן p איזומורפי גם ל-A, וגם לקטע התחלי אמיתי שלה, וזה בלתי אפשרי, משום שקבוצה סדורה היטב לעולם אינה איזומורפית לקטע התחלי שלה.

ראו גם

הערות שוליים

  1. קטע התחלי של קבוצה סדורה הוא קבוצה חלקית מהצורה