אפיציקלואיד

העקומה האדומה היא אפיציכלואיד המתואר כשהמעגל הקטן (רדיוס r = 1) מתגלגל סביב החלק החיצוני של המעגל הגדול (רדיוס R = 3) .

בגאומטריה, אפיציכלואיד הוא עקומה הנוצרת על ידי התחקות אחר הנתיב של נקודה נבחרת על היקף מעגל - המכונה "אפיציקל" - שמתגלגל סביב מעגל קבוע על היקפו. זהו סוג מסוים של רולטה.

משוואות

אם למעגל הקטן יש רדיוס r, ולמעגל הגדול יש רדיוס R, אשר R = kr, אזי ניתן לבטא את העקומה על ידי אחת מהמשוואות הפרמטריות הבאות:

x(\theta )=(R+r)\cos \theta \ -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

y(\theta )=(R+r)\sin \theta \ -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right),

אוֹ:

x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\,

y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right).\,

או בצורה תמציתית ומורכבת יותר^[1]

z(\theta )=r(e^{i(k+1)\theta }-(k+1)e^{i\theta })

כאשר

$\theta \in [0,2\pi ].$
למעגל הקטן יותר יש רדיוס r
למעגל הגדול יותר יש רדיוס kr

שטח

(בהנחה שהנקודה הראשונית נמצאת על המעגל הגדול.) כש-k הוא מספר שלם חיובי, השטח של האפיציכלואיד הזה הוא

A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}.

אם k הוא מספר שלם חיובי, אז העקומה סגורה, ויש לה פינות חדות.

אם k הוא מספר רציונלי, נניח ש- k = p / q מבוטא כשבר מצומצם לגמרי, כלומר שאי אפשר לצמצמו עוד, אז לעקומה יש p פינות.

במידה ו-k הוא מספר רציונלי, העקומה לעולם לא תיסגר, ויוצרת שטח מרוכז של שרטוטים צפופים יחד בשטח שבין היקף העיגול הגדול לבין היקפו של עיגול בעל רדיוס R + 2r.

המרחק OP מנקודת המרכז (x=0, y=0), לנקודה p על העיגול הקטן משתרע על טווח מ-R עד R+2r

R <= OP <= (R + 2r)

R = הרדיוס של העיגול הגדול

2r = הקוטר של העיגול הקטן