אלגברת סי כוכב

במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, אלגברת סי כוכב (או אלגברת *-C) היא אלגברת בנך A מעל שדה המספרים המרוכבים ביחד עם פעולה אונארית $\,*:A\rightarrow A$ כך ש:

• הפעולה היא אינוולוציה מסוג שני, כלומר, לכל לכל $\,a,b\in A$ ולכל סקלר $\lambda \in \mathbb {C}$ מתקיים:
  • $\,(a+b)^{*}=a^{*}+b^{*}$
  • $\,(ab)^{*}=b^{*}a^{*}$
  • $\,(a^{*})^{*}=a$
  • $\,(\lambda a)^{*}={\overline {\lambda }}a^{*}$ כאשר קו עליון מסמן לקיחת צמוד מרוכב; ובנוסף,
• $\,||a^{*}a||=||a||^{2}$ לכל $\,a\in A$.

אלגבראות סי כוכב נקראות גם מרחבים טופולוגים לא קומוטטיביים. לאלגבראות סי-כוכב חשיבות רבה במכניקת הקוואנטים. על פי משפט גלפנד-נאימרק, כל אלגברת סי-כוכב איזומורפית לתת אלגברה של אלגברת האופרטורים החסומים על מרחב הילברט.

דוגמאות

• אלגברת האופרטורים הלינארים החסומים מעל מרחב הילברט עם לקיחת צמוד הרמיטי היא אלגברת סי כוכב.
• אוסף כל האופרטורים הקומפקטים על מרחב הילברט הוא אלגברת סי כוכב. זוהי תת-אלגברה של אלגברת האופרטורים הלינארים החסומים.

איברים הפיכים וספקטרום של איבר

כמו בכל אלגברת בנך, לכל איבר באלגברת סי-כוכב (עם יחידה) אפשר להגדיר ספקטרום שהוא קבוצה קומפקטית לא-ריקה של מספרים מרוכבים, המכלילה את קבוצת הערכים העצמיים מן התאוריה של טרנספורמציות לינאריות מממד סופי. הספקטרום של a (המסומן ב $\,\sigma (a)$) שווה, על-פי ההגדרה, לאוסף המספרים המרוכבים $\,\lambda$ כך שהאיבר $a-\lambda \cdot 1$ אינו הפיך באלגברה.

אלגבראות סי כוכב קומוטטיביות וטופולוגיה לא קומוטטיבית

נניח כי X הוא מרחב טופולוגי שהוא האוסדורף וקומפקטי באופן מקומי (כלומר לכל נקודה יש סביבה קומפקטית). נניח כי f היא פונקציה רציפה על X המקבלת ערכים מרוכבים, כלומר $\,f:X\rightarrow \mathbb {C}$. נאמר שf "מתאפסת באינסוף" אם לכל $\,\epsilon >0$ קיימת קבוצה קומפקטית $K\subseteq X$ כך שלכל $x\in X-K$ מתקיים $\,|f(x)|<\epsilon$.

את אוסף כל הפונקציות הרציפות המתאפסות באינסוף על X נסמן ב$\,C_{0}(X)$. ניתן להוכיח שזוהי אלגברת סי-כוכב, כאשר פעולות החיבור והכפל הן חיבור וכפל רגילים של פונקציות ופעולת הכוכב היא הצמדה של מספרים מרוכבים. בפרט, פעולת הכפל היא קומוטטיבית. לאלגברת סי כוכב שבה פעולת הכפל היא קומוטטיבית קוראים אלגברת סי כוכב קומוטטיבית.

משפט הייצוג של גלפנד קובע כי בהינתן אלגברת סי כוכב קומוטטיבית A קיים מרחב טופולוגי האוסדורף קומפקטי באופן מקומי X כך ש$\,A\cong C_{0}(X)$. נוסף על כך ניתן להוכיח שאם X וY הם שני מרחבים טופולוגים אז X הומיאומורפי לY אם ורק אם האלגברה $\,C_{0}(X)$ איזומורפית לאלגברה $\,C_{0}(Y)$. מסיבה זאת ניתן לזהות מרחבים טופולוגים "סבירים" (כלומר שהם האוסדורף וקומפקטיים באופן מקומי) עם אלגבראות סי כוכב קומוטטיביות, ולפיכך ניתן לראות באלגבראות סי כוכב כלליות הכללה למושג מרחב טופולוגי, ועקב החוסר בקומוטטיביות, נהוג לקרוא להן מרחבים טופולוגים לא קומוטטיביים.

חלקים נרחבים מהפיתוח של אלגבראות סי כוכב מתבססים על הכללה של שיטות טופולוגיות למרחבים שאינם קומוטטיביים. ראוי לציין כי לעיתים ההכללה למרחבים לא קומוטטיביים היא למעשה פשוטה יותר ובכך מפשטת שיטות טופולוגיות קלאסיות. לדוגמה, תורת K של מרחבים טופולוגים נותנת אינווריאנטה אלגברית (החבורות $\,K_{0}(X)$ ו-$\,K_{1}(X)$) למרחבים טופולוגים על ידי שקילויות בין אגדים וקטורים (שהם אובייקט מסובך יחסית) מעליהם. הכללתה של תורת-K לאלגבראות סי כוכב מתבצעת על ידי מחלקות שקילות של הטלות (במקרה של חבורת $\,K_{0}$) או של איברים אוניטרים (במקרה של חבורת $\,K_{1}$) באלגבראות סי כוכב. איבר $\,a\in A$ באלגברת סי כוכב נקרא הטלה אם הוא מקיים $\,a=a^{2}=a^{*}$. איבר $\,a\in A$ באלגברת סי כוכב נקרא אוניטרי אם הוא מקיים $\,aa^{*}=a^{*}a=1$.