אלגברת הטנזורים

באלגברה מופשטת, אלגברת הטנזורים של מרחב וקטורי היא האלגברה (האסוציאטיבית עם איבר יחידה) החופשית מעליו.

הגדרה

יהי $V$ מרחב וקטורי מעל שדה $\mathbb {F}$ . אלגברת הטנזורים של $V$ היא $T(V)=\mathbb {F} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus ...$ , עם פעולת הכפל בתור המכפלה הטנזורית (מעל $\mathbb {F}$ ).

מבנייה זו מתקבלת אלגברה אסוציאטיבית עם יחידה.

כאשר המרחב V הוא סוף ממדי עם בסיס $\{v_{1},...,v_{n}\}$ , אלגברת הטנזורים היא האלגברה החופשית ביוצרים $v_{1},...,v_{n}$ , כלומר אלגברת הפולינומים הלא-קומוטטיביים ביוצרים האלה. החלפת בסיס משרה אוטומורפיזם של האלגברה.

אוניברסליות

כאמור, אלגברת הטנזורים היא האלגברה החופשית מעל $V$ . פירושו של דבר הוא שהאלגברה מקיימת תכונה אוניברסלית: כל העתקה ליניארית מ- $V$ לאלגברה כלשהי $A$ "עוברת" דרך $T(V)$ , כלומר קיים הומומורפיזם (יחיד) ${\hat {f}}:T(V)\rightarrow A$ כך שהדיאגרמה הבאה מתחלפת:

Universal property of the tensor algebra

(כאשר $i:V\hookrightarrow T(V)$ העתקת ההכלה).

כרגיל עם תכונות אוניברסליות, יש מבנה חופשי אחד לכל היותר, עד כדי איזומורפיזם; אלגברת הטנזורים היא המבנה החופשי הזה.

מנות אלגברת הטנזורים

כל אלגברה מתקבלת כאלגברת מנה של האלגברה הטנזורית המתאימה למרחב וקטורי כלשהו.

בשל היותה האלגברה הכללית ביותר (כזו שלא מקיימת יחסים לא טריוויאליים, פרט לאלו שכל אלגברה אסוציאטיבית מחויבת לקיים), ניתן "לכפות" עליה יחסים ואף זהויות (כמו קומוטטיביות) ולקבל אלגברות ידועות אחרות. דוגמאות מפורשות לאלגברות כאלה הן האלגברה הסימטרית (בה מוסיפים יחסים מהצורה $v\otimes w-w\otimes v$ ) - זוהי האלגברה החופשית הקומוטטיבית הכללית ביותר, ואלגברת קליפורד - בה מוסיפים יחסים מהצורה $v\otimes v-q(v)$ , עבור תבנית ריבועית $q$ .

דירוג

אלגברת הטנזורים היא אלגברה מדורגת לפי אורך הטנזורים. מפורשות, המרחבים $T^{k}(V)=V\otimes ...\otimes V$ (מכפלה k פעמים) הם המרכיבים ההומוגניים, והאלגברה אמנם מדורגת משום שהעתקת הכפל מוגדרת לטווח הנכון: $T^{k_{1}}(V)\otimes T^{k_{2}}(V)\rightarrow T^{k_{1}+k_{2}}(V)$ על ידי מכפלה טנזורית.

ניתן גם להציג דירוגים אחרים, כדוגמת $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ -דירוג, על ידי $T(V)=T_{0}(V)\oplus T_{1}(V)$ , כאשר $T_{0}(V)={\underset {2|k}{\bigoplus }}{{T}^{k}(V)}$ החלק הזוגי של $T(V)$ , ו- $T_{1}(V)={\underset {2\nmid k}{\bigoplus }}{{T}^{k}(V)}$ החלק האי-זוגי.