אינדוקציה נתרית

באלגברה קומוטטיבית, אינדוקציה נתרית (Noetherian induction) היא שיטת הוכחת טענות על אלגברות נתריות, שדומה במובן מסוים לאינדוקציה הרגילה.

הגדרה והסבר

תהי $R$ אלגברה נתרית. כדי להוכיח עליה טענה מסוימת, ניתן להיעזר באינדוקציה נתרית - ניתן להניח שהטענה לא נכונה עבור אלגברה כלשהי, אבל נכונה לכל אלגברת מנה $R/A$ עבור כל אידאל $0\neq A\triangleleft R$, ואז להמשיך באינדוקציה.

הסבר - יהי $L$ אוסף כל האידאלים $A$ של $R$ כך ש-$R/A$ דוגמה נגדית לטענה. האוסף אינו ריק, משום שאידאל האפס שם. $R$ נתרי, ולכן ל-$L$ יש מקסימום, נאמר $I_{1}$. בכך למעשה הוכחה הטענה, משום שמתקבלת אלגברה $R/I$ שאינה מקיימת את הטענה, ולכל אידאל אמיתי שלה $0\neq I_{2}/I_{1}\triangleleft R/I_{1}$ המנה מקיימת את הטענה, משום ש-$(R/I_{1})/(I_{2}/I_{1})\cong R/I_{2}$, ו-$I_{1}\subsetneq I_{2}$.

דוגמה

טענה: אם $R$ נתרי, קיימים אידאלים ראשוניים $P_{1},...,P_{t}\in spec(R)$ כך ש-$P_{1}\cdot ...P_{t}=0$.

הוכחה: באינדוקציה נתרית, נניח כי $R$ דוגמה נגדית, אבל $R/I$ איננו דוגמה נגדית לכל $0\neq I\triangleleft R$. כעת, $R$ דוגמה נגדית, ולכן איננו תחום שלמות (אחרת ניקח $P_{1}=0$). לכן, יש אידאלים $A,B\neq 0$ עבורם $AB=0$. לפי ההנחה, $R/A,R/B$ מקיימות את הטענה, ולכן קיימים ${\overline {P_{1}}},...,{\overline {P_{u}}}\in spec(R/A),{\overline {P_{u+1}}},...,{\overline {P_{n}}}\in spec(R/B)$ כך ש-${\overline {P_{1}}}\cdot ...\cdot {\overline {P_{u}}}={\overline {P_{u+1}}}\cdot ...\cdot {\overline {P_{n}}}=0$. נקבל $P_{1}\cdot ...\cdot P_{u}\subseteq A,P_{u+1}\cdot ...\cdot P_{n}\subseteq B$, ולכן $P_{1}\cdot ...\cdot P_{n}\subseteq AB=0$ כלומר $P_{1}\cdot ...\cdot P_{n}=0$, וסיימנו באינדוקציה נתרית.

יחס בנוי-היטב

כהכללה למושג לעיל, נציג בנייה כללית יותר מ אומרים על יחס $R$ על קבוצה $X$ שהוא בנוי-היטב (Well-founded relation) אם לכל תת-קבוצה לא ריקה של איברים יש איבר מינימלי. היחס נקרא בנוי היטב הפוך אם $R^{-1}$ בנוי-היטב.

בהקשר של יחסים בנויים-היטב, ניתן לדבר על סוג נוסף של אינדוקציה, המהווה מעין גרסה של אינדוקציה טרנספיניטית:

אם $(X,R)$ יחס בנוי-היטב, אז כדי להוכיח טענה על כל איבר $x\in X$ מספיק להוכיח אותה על כל $yRx$.

אלגברה היא נתרית אם יחס ההכלה על אידאלים הוא בנוי-היטב הפוך (והיא ארטינית אם היחס הוא בנוי-היטב רגיל).

ראו גם

• תנאי שרשרת (מתמטיקה)