אוריינטציה על אגד

בטופולוגיה, אוריינטציה על אגד היא מבנה רציף של אוריינטציות על הסיבים של האגד. המושג מבוסס על מושג האוריינטציה על מרחב וקטורי, וניתן לבסס עליו את מושג האוריינטציה על יריעה חלקה. יתר על כן ניתן להגדיר באמצעותו את מושג האוריינטציה היחסית עבור העתקות מסוימות בין יריעות חלקות.

הגדרה

יהי $E$ אגד וקטורי $n$-ממדי מעל מרחב טופולוגי $X$ .

אוריינטציה על $E$ היא אוריינטציה על כל אחד מהסיבים (Fibers) $E|_{x}$ של $E$ התלויה באופן רציף בנקודה $x$ שמעליה הסיב.

כדי להגדיר זאת באופן פורמלי נזדקק למושג התבניות. תבנית על $E$ היא חתך (Section) (רציף) של אגד התבניות $.\Omega ^{n}(E)=\Lambda ^{n}(E^{*})$ במילים זאת פונקציה רציפה $\omega$ ממכפלת הסיבים (fiber product) $E\times _{X}E\times _{X}\dots \times _{X}E$ ל-$\mathbb {R}$ כך שלכל $x\in X$ הצמצום לסיב

$\omega _{x}:=\omega |_{E|_{x}\times \dots \times E|_{x}}:{E|_{x}\times \dots \times E|_{x}}\to \mathbb {R}$

הוא תבנית.

הגדרה: $E$ נקרא אוריינטבילי אם קיימת עליו תבנית הפיכה. אוריינטציה על $E$ היא מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות תחת יחס השקיליות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית.

כמו מושג האוריינטציה על יריעה חלקה, גם מושג האוריינטציה על אגד הוא מקומי ולכן ניתן להגדיר את כיסוי האוריינטציות $orient_{E/X}$ , אגד האוריינטציות $Orient_{E/X}$ , אגד הצפיפויות $D_{E/X}$ ואלומת האוריינטציות ${\mathcal {O}}rient_{E/X}$ של האגד $E$ . כל אלה יהיו אובייקטים מעל $X$ .

ניתן להכליל את ההגדרה הזאת למקרה ש $E$ איננו אגד וקטורי אלא אגד סיבים (Fiber bundle) שהסיבים שלו הם יריעות. ניתן גם להגדיר את האובייקטים המקומיים במקרה זה אולם אז הם יהיו אובייקטים מעל המרחב הכולל של $E$ .

קשר לאוריינטציה על יריעה

אם $X$ יריעה חלקה ו-$E=T(X)$ הוא האגד המשיק (Tangent bundle) שלה אז, אוריינטציה על $X$ שקולה לאוריינטציה על $E$ . כמו כן

$orient_{X}=orient_{E/X},\quad Orient_{X}=Orient_{E/X},\quad {\mathcal {O}}rient_{X}={\mathcal {O}}rient_{E/X},\quad D_{X}=D_{E/X}$

נשים לב כי אף על פי שמושג האוריינטציה מוגדר לאגד מעל מרחב טופגולוגי $X$ כלשוהו, ניתן להגדיר באמצעותו אוריינטציה על $X$ רק אם $X$ יריעה חלקה, זאת מכיוון שהאגד המשיק מוגדר רק עבור יריעה חלקה. כדי להגדיר אוריינטציה על יריעה טופולוגית כללית, צריך להשתמש בשיטה אחרת.

אוריינטציה יחסית

ערך מורחב – אוריינטציה יחסית

בהתבסס על מושג האוריינטציה על אגד אפשר להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית של ההעתקה $\phi :M\to N$ בשני מקרים:

• $\phi$ היא אימרסיה (immersion)
• $\phi$ היא סובמרסיה (submersion)

בשני המקרים ניתן גם להגדיר גרסאות יחסיות של האובייקטים המקומיים המבוססים על כיסוי האוריינטציות:

$orient_{M/N},\quad Orient_{M/N},\quad D_{M/N},\quad {\mathcal {O}}rient_{M/N},\quad \Omega _{M/N}$

כל אלה יהיו אובייקטים מעל $M$ .

אוריינטציה על אגד וטורסורים

ניתן להתייחס אל אגד וקטורי $n$-ממדי, כאל $GL_{n}(\mathbb {R} )$-טורסור. מנקודת מבט זאת אגד מכוון (אגד עליו נקבעה אוריינטציה) הוא $GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )$-טורסור. כאן $GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )$ היא חבורת המטריצות עם דטרמיננטה חיובית.

$GL_{n}(\mathbb {R} )$-טורסור מעל מרחב טופולוגי $X$ הוא מרחב $T$ המועתק ל-$X$ שהסיבים (Fiber) שלו הם מרחבים הומוגניים עיקריים (Principal homogeneous space) מעל $GL_{n}(\mathbb {R} )$. זאת אומרת ש-$GL_{n}(\mathbb {R} )$ פעולת עליהם באופן טרנזיטיבי, עם מייצבים טריוויאליים. לכל אגד וקטורי $E$ מעל $X$ ניתן להתאים $GL_{n}(\mathbb {R} )$-טורסור באופן הבא:

$T:=\{(x,b)|x\in X,{\text{ and }}b{\text{ is a basis of }}E|_{x}\}$

הפעולה של $GL_{n}(\mathbb {R} )$ נתונה על ידי החלפת בסיס. קל לראות שהתאמה זאת נותנת התאמה חח"ע ועל בין מחלקות איזומורפיזם של אגדים ומחלקות איזומורפיזם של טורסורים.

באופן אנלוגי, לכל אגד וקטורי מכוון $(E,o)$ מעל $X$ ניתן להתאים $GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )$-טורסור באופן הבא:

$T:=\{(x,b)|x\in X,{\text{ and }}b{\text{ is a positive basis of }}E|_{x}{\text{ w.r.t. }}o_{x}\}$

בניות דומות קיימות גם עבור מבנים אחרים. כך למשל:

• אגד עם מכפלה פנימית הוא $O_{n}(\mathbb {R} )$-טורסור.
• אגד עם תבנית סימפלקטית הוא $Sp_{n}(\mathbb {R} )$-טורסור.
• אגד (מממד $2n$) עם מבנה מרוכב הוא $GL_{n}(\mathbb {C} )$-טורסור.
• אגד עם תבנית נפח הוא $SL_{n}(\mathbb {R} )$-טורסור.