תורת שטורם-ליוביל

במתמטיקה, תורת שטורם-ליוביל עוסקת בחקר משוואות דיפרנציאליות מסוימות ומציאת התנאים שבהם יש להן פתרון ששונה מהפתרון הטריוואלי, $\ y\equiv 0$. לתורה שימושים רבים במתמטיקה שימושית ובתורת המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות.

תיאור

תורת שטורם-ליוביל (על שם המתמטיקאים שארל שטורם וז'וזף ליוביל) עוסקת בחקר משוואות דיפרנציאליות מהצורה

${d \over dx}\left(p(x){dy \over dx}\right)+q(x)y=\lambda w(x)y$

כאשר $\ \lambda$ הוא פרמטר, המהווה ערך עצמי של אופרטור גזירה הרמיטי מעל מרחב פונקציות שמוגדר על ידי תנאי הקצה, וכל פתרון למשוואה הוא פונקציה עצמית. תנאי ההרמיטיות מבטיח שהערכים העצמיים הם ממשיים.

במקרה שהמשוואה מוגדרת בקטע ממשי סגור $[a,b]$ ותנאי השפה הוא מהצורה $c_{1}y'(a)=c_{2}y(a)$ וכן $c_{3}y'(b)=c_{4}y(b)$ (כאשר אולי $c_{i}=0$), מובטח קיום סדרה של ערכים עצמיים שלכל אחד מהם פונקציה עצמית מתאימה יחידה, וכן אוסף פונקציות זה מהווה בסיס אורתוגונלי למרחב כל הפונקציות הרציפות על $[a,b]$.

דוגמאות ושימושים

משוואת החום

משוואת החום (נקראת גם משוואת הדיפוזיה) היא משוואה הבאה מעולם התרמודינמיקה ועוסקת במעבר חום דרך הולכה או פעפוע. המשוואה נתונה על ידי

$\ {\frac {\partial ^{2}\Psi (x,t)}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}$

או בכתיב מקוצר

$\ \partial _{x}^{2}\Psi (x,t)=\partial _{t}\Psi (x,t)$

נפתור אותה עם תנאי התחלה

$\ \Psi (x,0)=\Psi _{0}(x)$

ותנאי שפה

$\ \Psi (0,t)=\Psi (\pi ,t)=0$

נבצע הפרדת משתנים $\ \Psi (x,t)=R(x)\cdot T(t)$ ונקבל אחרי העברת אגפים

$\ R''(x)/R(x)=T'(t)/T(t)$

מאחר שאגף ימין תלוי רק ב t ושווה לאגף שמאל שתלוי רק ב x נובע שכל אגף שווה לקבוע. (באופן כללי הקבוע יכול להיות שלילי, חיובי או אפס, אבל יש לשים לב שרק קבוע שלילי יתן לנו דעיכה של הטמפרטורה בזמן, ולכן משיקולים פיזיקליים נכון לבחור בו) כלומר:

$\ T'(t)=-\omega T(t)\quad ,\quad R''(x)=-\omega R(x)$

לכן, קיבלנו שתי משוואות דיפרנציאליות לכל קבוע הפרדה $\ -\omega$ ובסה"כ מערכת של אינסוף משוואות. נפתור כל משוואה דיפרנציאלית לחוד ונקבל

$\ T(t)=T_{0}\exp(-\omega t)$

$\ R(x)=A\sin({\sqrt {\omega }}x)+B\cos({\sqrt {\omega }}x)$.

אם נציב את תנאי השפה נקבל שהפתרון עבור x יהיה מהצורה

$\ R_{n}(x)=A_{n}\sin(nx)$ לכל $\ 1\leq n\in \mathbb {N}$

לכן, יש לנו רק מספר בן מנייה של קבועי הפרדה, והם נתונים על ידי

$\ \omega _{n}=n^{2}\quad n=1,2,3,\cdots$.

לכן, קיבלנו סדרה של פתרונות מהצורה:

$\ \Psi _{n}(x,t)=A_{n}\sin(nx)\exp(-n^{2}t)$

זהו בעצם בסיס טופולוגי למרחב הפתרונות של המד"ח.

ואכן, מכיוון שהמד"ח המקורית היא לינארית, כל צירוף לינארי של פתרונות הוא פתרון, הפתרון הכללי יהיה

$\ \Psi (x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{A_{n}\sin(nx)\exp(-n^{2}t)}=\sum _{n=1}^{\infty }{A_{n}e^{-n^{2}t}\sin(nx)}$

את הקבועים $A_{n}$ נמצא באמצעות תנאי ההתחלה ושיקולים של אורתוגונליות. מציבים t=0 ואז מקבלים טור פורייה, שהוא פיתוח בבסיס ההרמוני (בסיס של סינוסים וקוסינוסים) בקטע $\ [-\pi ,\pi ]$. מאחר שבידינו יש רק סינוסים בטור, נוכל לעשות המשכה אי-זוגית של הפתרון ותנאי ההתחלה ולמצוא את המקדמים $A_{n}$ כמקדמי הפיתוח של טור פורייה של תנאי ההתחלה.

כעת נפתור אותה עם תנאי התחלה

$\ \Psi (x,0)=\Psi _{0}(x)$

ועם תנאי השפה

$\ \Psi (0,t)=0$ בלבד.

שיטת הפתרון זהה למקרה הקודם, רק שהפעם סט הפתרונות שאנו מקבלים הוא סט רציף:

$\ 0<\omega \in \mathbb {R} \ :\ \Psi _{\omega }(x,t)={\hat {\Psi }}(\omega )\sin({\sqrt {\omega }}x)e^{-\omega t}$

והפתרון במקרה זה הוא צירוף לינארי אינטגרלי (ולא טור):

$\ \Psi (x,t)=\int _{0}^{\infty }{{\hat {\Psi }}(\omega )e^{-\omega t}\sin({\sqrt {\omega }}x)\ d\omega }$

את המקדמים היינו מוצאים על ידי הצבת t=0 וביצוע התמרת פורייה על תנאי ההתחלה.

משוואת שרדינגר

דוגמה לפתרון משוואה דיפרנציאלית חלקית בשיטת שטורם-ליוביל ניתן למצוא בערך משוואת שרדינגר. כדי להבין את הסימונים מומלץ לעיין גם במאמר על סימון דיראק.

ראו גם

• משפט הפירוק הספקטרלי
• התמרת פורייה
• משוואות דיפרנציאליות
• אלגברה לינארית
• מרחב הילברט
• אנליזה פונקציונלית

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0