אופרטור סיבוב

אופרטור סיבוב הוא מונח באלגברה לינארית, המהווה סוג של העתקה לינארית. הוא מייצג את התחושה האינטואיטבית של סיבוב של וקטור במרחב וקטורי כלשהו. סיבוב שכזה אינו משנה את גודל הווקטור, רק את כיוונו.

הקדמה

באלגברה לינארית, אנחנו דנים במרחבים אוקלידים, ובמרחבים אלו, מושג המרחק מציית למשפט פיתגורס. לפיכך, מרחק בין וקטור כלשהו לראשית (הנקרא גם נורמה), הוא שורש ריבועי של סכום רכיבי הווקטור בריבוע. כלומר, עבור וקטור: $X=\left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\.\\x_{n}\end{matrix}}\right)$

המרחק מהראשית הוא: ${\sqrt {(}}x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2})$, אשר ניתן לכתוב גם כ-${\sqrt {(}}X^{T}X)$. כלומר, מכפלת וקטור השורה עם וקטור העמודה המתאים לו.

לאור, כל הנאמר לעיל, מכיוון שאופרטור סיבוב לא משנה מרחק בין שני וקטורים. כמו כן, כל העתקה לינארית ניתן לייצג על ידי מטריצה. נניח כי A היא מטריצה שמבצעת סיבוב ונסיק: $y=Ax$ ו-$y_{0}=Ax_{0}$. כאשר x ו-x₀ הם וקטורים כלשהם. y ו-y₀ הם המכפלה של הווקטורים במטריצה A. כלומר, התמונות של הווקטורים תחת ההעתקה הלינארית שמסובבת. לכן, ההעתקה אמורה לקיים,

$\|x-x_{0}\|=\|y-y_{0}\|=y^{T}y=(Ax)^{T}(Ax)=xA^{T}Ax=\|x-x_{0}\|$. זה קורה אם ורק אם $AA^{T}=I$. כלומר, אם ורק אם A היא מטריצה אורתונורמלית (הפיכה על ידי המשוחלפת שלה).

הבדל בין שיקוף לסיבוב

יש לשים לב, כי ישנן העתקות לינאריות אורתונגליות שאינן סיבובים - למשל, שיקוף (או שיקוף ואחריו סיבוב או שיקוף ברכיב אחר). הדרך להבדיל בין שיקוף לסיבוב היא ללכסן את המטריצה ולראות אם ישנם איברים שליליים על האלכסון. אם ישנם, הרי שמדובר בשיקוף. אם כולם חיוביים, מדובר בסיבוב. לא ייתכן כי יהיה איבר 0 על האלכסון כי הרי הרכבה של שתי הרכבות היא הרכבה, ולכן יכולנו לסובב כל וקטור כך שרכיב שלו יהיה בדיוק על אחד מהצירים הסטנדרטיים (כלומר, במישור למשל, ניתן לסובב וקטור (קטע) עד אשר כולו על ציר ה-x) ואז ניתן להשתמש במטריצה שלנו (שיש לה איבר על האלכסון) ולאפס את אותו ערך המתאים לה. מה שיגרור, מסקנה שגויה, שלכל וקטור, וקטור ה-0 הינו סיבוב שלו, מה שאינו נכון.

הרכבה של שני שיקופים אינה בהכרח סיבוב, מאחר שייתכן כי שיקוף אחד משקף לפי ציר כלשהו ושיקוף שני לפי ציר אחר.

דוגמאות של סיבובים

למשל, העתקת היחידה, $\ I$, מסובבת כל וקטור בזווית של 0 מעלות, לפי כל ציר.

ההעתקה $\ I-$ משקפת בכל רכיב.

במישור, סיבוב של וקטור בזווית $\theta$, ניתן לייצג כ- $\left({\begin{matrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{matrix}}\right)$ בבסיס הסטנדרטי.