בהינתן שני משתנים מקריים המוגדרים על אותו מרחב הסתברות,[1] ההתפלגות המשותפת היא האופן שבו ההסתברות מתפלגת על זוגות ערכים אפשריים של שני המשתנים. באופן דומה ניתן להגדיר התפלגות משותפת לכל מספר נתון של משתנים מקריים. מתוך ההתפלגות המשותפת יניתן לקבל את ההתפלגויות השוליות, שהן ההתפלגויות של כל אחד מהמשתנים המקריים. ניתן גם לקבל את ההתפלגויות המותנות, שהן ההתפלגויות של משתנה מקרי אחד כאשר הערכים של המשתנים המקריים האחרים נתונים.
במקרה של משתנים מקריים המקבלים ערכים ממשיים, ניתן לתאר את ההתפלגות משותפת, באמצעות פונקציית ההתפלגות המצטברת הרב-משתנית, או על-ידי פונקציית צפיפות רב-משתנית במקרה של משתנים רציפים ופונקציית הסתברות רב-משתנית במקרה של משתנים בדידים.
אם הוא מרחב המדגם, ו- הם קבוצות הערכים ש- ו- יכולים לקבל, אז במקרה של שני משתנים מתקיים,
באמצעות פונקציית ההסתברות ניתן לחשב הסתברות של כל מאורע המוגדר באמצעות ו-, ,
באופן דומה, עבור משתנים אקראיים קיימת פונקציית הסתברות משותפת,
עבורה מתקיים,
ועבור מתקיים,
דוגמה
נתון כד עם ארבעה כדורים, שניים כחולים, אחד אדום ואחד לבן. מוציאים מהכד שני כדורים ללא החזרה. נגדיר משתנה מקרי כמספר הכדורים האדומים שהוצאו, ומשתנה מקרי כמספר הכדורים הכחולים שהוצאו. הטבלה להלן מתארת את פונקציית ההסתברות המשותפת של ו-. למשל .
באמצעות פונקציית ההסתברות המשותפת ניתן לחשב מאורעות המוגדרים באמצעות ו-. למשל,
.
כהדגמה של חישוב פונקציית התפלגות מצטברת משותפת נחשב, .
פונקציית צפיפות משותפת
במקרה שהמשתנים המקריים רציפים משתמשים עבור שני משתנים מקריים בפונקציית צפיפות משותפת. בתנאים מסוימים ניתן לקבלה על ידי הביטויים,
או באמצעות נגזרות חלקיות של פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת,
מתקיימים ביטויים דומים עבור יותר משני משתנים מקריים,
באמצעות נגזרות חלקיות מתוך ההתפלגות המצטברת המשותפת,
מכיוון שמדובר בהתפלגויות, עבור שני משתנים מתקיים,
ליותר משני משתנים,
לכל תחום (המקיים תנאים מסוימים) מתקיים
באופן דומה נחשב עבור
דוגמה
נתונים משתנים מקריים רציפים ו- עם פונקציית צפיפות משותפת:
נדגים את חישוב ההסתברות ש- ,
הדגמה של חישוב פונקציית התפלגות מצטברת,
תכונות נוספות
התפלגות משותפת של משתנים בלתי תלויים
באופן כללי שני משתנים מקריים ו הם בלתי תלויים אם ורק אם פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת מתקיימת
שני משתנים מקריים בדידים ו הם בלתי תלויים אם ורק אם פונקציית ההסתברות המשותפת מקיימת
לכל ו .
באופן דומה, שני משתנים מקריים רציפים הם בלתי תלויים אם ורק אם
המתאם הוא מדד נוסף לקשר בין שני משתנים מקריים. מדד זה קל יותר לפרשנות מאשר השונות המשותפת.
המתאם מתקבל מהנירמול של השונות המשותפת באמצעות חילוק בסטיות התקן (השורש של השונות) של כל משתנה. כתוצאה מכך, המתאם הוא חסר מימד וניתן להשתמש בו כדי להשוות את הקשר הליניארי בין זוגות של משתנים המבוטאים ביחידות שונות. אם הנקודות בהתפלגות המשותפת של ו- מקבלות הסתברות חיובית נמצאות בקרבתו קו עם שיפוע חיובי (או שלילי), קרוב ל- (או ). אם שווה ל- או , ניתן להראות שהנקודות בהתפלגות המשותפת שמקבלות הסתברות חיובית נמצאות על ישר. שני משתנים מקריים עם מתאם שאינו אפס אמורים נקראים מתואמים. בדומה לשונות משותפת, המתאם הוא מדד לקשר הליניארי בין משתנים מקריים.
^Feller, William (1957). An introduction to probability theory and its applications, vol 1, 3rd edition (באנגלית). pp. 217–218. ISBN978-0471257080.
^Park,Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN978-3-319-68074-3.
^Montgomery, Douglas C. (19 בנובמבר 2013). Applied statistics and probability for engineers. Runger, George C. (Sixth ed.). Hoboken, NJ. ISBN978-1-118-53971-2. OCLC861273897. {{cite book}}: (עזרה)