שונות משותפת

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, השונות המשותפת (covariance) היא מדד לקשר בין שני משתנים מקריים. השונות המשותפת חיובית כאשר המשתנים נוטים לסטות באותו כיוון, מעל או מתחת לממוצע, ושלילית כאשר הם משתנים בכיוונים מנוגדים זה לזה.

אם מנרמלים את השונות המשותפת באמצעות חלוקתה במכפלת סטיות התקן של המשתנים המעורבים, מתקבל מדד הנקרא "מקדם המתאם", שערכו בין 1 ל־1-. אם המקדם קרוב לערכים הקיצוניים, זהו אות לכך שהמשתנים קשורים זה בזה (קשר שעשוי להיות סיבתי, אך אינו בהכרח כזה). אפשר לראות במושג זה הכללה של השונות, משום שהשונות המשותפת של משתנה מקרי עם עצמו, שווה לשונות שלו. השונות המשותפת של משתנים בלתי תלויים שווה ל־0, אך אם השונות המשותפת שווה לאפס, המשתנים אינם בהכרח בלתי תלויים – הם עשויים להיות בלתי מתואמים.

הגדרה

נסמן $\ \mu _{X}=\operatorname {E} (X),\mu _{Y}=\operatorname {E} (Y)$ את התוחלות של המשתנים המקריים $X,Y$ . השונות המשותפת של השניים מוגדרת להיות

\ \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\mu _{X}\mu _{Y}=\operatorname {E} ((X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y}))

מאי-שוויון קושי-שוורץ נובע שתמיד $\ |\operatorname {cov} (X,Y)|^{2}\leq V(X)V(Y)$ , כאשר $\ V(X)$ השונות של המשתנה המקרי X (וכן ל־Y). בפרט, השונות המשותפת קיימת (וסופית) כל אימת שלמשתנים $X,Y$ יש שונות (סופית). מאותה סיבה, הערך המוחלט של מקדם המתאם $\ \rho (X,Y)={\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sqrt {V(X)V(Y)}}}$ אינו עולה על 1.

תכונות

למשתנים ששונותם המשותפת אפס, קוראים משתנים בלתי מתואמים. כל שני משתנים בלתי תלויים הם בלתי מתואמים, אבל ההפך אינו נכון.

השונות המשותפת היא תבנית בילינארית, כלומר, $\ \operatorname {cov} (aX+bY,Z)=a\cdot \operatorname {cov} (X,Z)+b\cdot \operatorname {cov} (Y,Z)$ , וכן ברכיב הימני. זוהי תבנית סימטרית, שהיא חיובית לחלוטין על מרחב המשתנים המקריים (כאשר מזהים משתנים שההפרש ביניהם קבוע בהסתברות 1), מכיוון שלמשתנה שאינו קבוע בהסתברות 1, יש שונות חיובית. מכאן שהשונות המשותפת מגדירה מכפלה פנימית על מרחב המשתנים המקריים עד כדי הזיהוי הנזכר לעיל.

מטריצת השונויות

אם X הוא וקטור של משתנים מקריים, מסמנים ב־ $\ \operatorname {cov} (X)$ את מטריצת השונויות המשותפות, שהרכיב ה־(i,j) שלה הוא השונות המשותפת $\ \operatorname {cov} (X_{i},X_{j})$ . טרסנפורמציה לינארית של המשתנים מביאה לחפיפה של מטריצת השונויות: אם A מטריצה קבועה, אז $\ \operatorname {cov} (AX)=A\operatorname {cov} (X)A^{T}$ .