cis

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

cis הוא סימון מתמטי שהגדרתו $\ cis(x)=\cos(x)+i\sin(x)$ , כאשר $\ \cos$ הוא הפונקציה הטריגונומטרית קוסינוס, $\ \sin$ הוא הפונקציה הטריגונומטרית סינוס ו־ $\ i$ הוא היחידה המדומה ( ${\sqrt {-1}}$ ). בהתאם לנוסחת אוילר $\ cis(x)=e^{ix}$ .

את הסימון cis טבע בשנת 1866 המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון בספרו "Elements of Quaternions" שפורסם לאחר מותו.^[1] הסימון משמש כקיצור נוח המפשט הצגה של ביטויים מסוימים, למשל בטרנספורמציית פורייה. דוגמה: נוח יותר לכתוב ולהבין את הביטוי $cis(x 2)$ מאשר לכתוב ולהבין את הביטוי $e ix 2$ .

בספריות תוכנה מתמטית, כגון Math Kernel Library של אינטל, נכלל מימוש של פונקציה זו בשפות תכנות נפוצות.^[2]

זהויות מתמטיות

נגזרת:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} (z)=i\operatorname {cis} (z)=ie^{iz}

אינטגרל:

\int \operatorname {cis} (z)\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} (z)=-ie^{iz}

תכונות נוספות:

הזהויות הבאות נובעות ישירות מנוסחת אוילר:

\operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} (x)\,\operatorname {cis} (y)

\operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} (x) \over \operatorname {cis} (y)}

זהויות אלה מתקיימות כאשר $x$ ו- $y$ הם מספרים מרוכבים. כאשר $x$ ו- $y$ הם מספרים ממשיים, מתקיים גם:

|\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (y)|\leq |x-y|.

מספרים מרוכבים

את המספר המרוכב $z=x+iy$ ניתן להציג בהצגה קוטבית כ- $\ z=r(cis\theta )$ , כאשר $\ r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ הוא המרחק של הנקודה $z$ מראשית הצירים, והזווית $\ \theta$ , שבין הישר המחבר את הנקודה $z$ לראשית הצירים ובין ציר ה- $x$ , ניתנת בנוסחה $\ \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)$ .