בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.
|
cis הוא סימון מתמטי שהגדרתו
, כאשר
הוא הפונקציה הטריגונומטרית קוסינוס,
הוא הפונקציה הטריגונומטרית סינוס ו־
הוא היחידה המדומה (
). בהתאם לנוסחת אוילר
.
את הסימון cis טבע בשנת 1866 המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון בספרו "Elements of Quaternions" שפורסם לאחר מותו.[1] הסימון משמש כקיצור נוח המפשט הצגה של ביטויים מסוימים, למשל בטרנספורמציית פורייה. דוגמה: נוח יותר לכתוב ולהבין את הביטוי cis(x2) מאשר לכתוב ולהבין את הביטוי eix2.
בספריות תוכנה מתמטית, כגון Math Kernel Library של אינטל, נכלל מימוש של פונקציה זו בשפות תכנות נפוצות.[2]
זהויות מתמטיות
נגזרת:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} (z)=i\operatorname {cis} (z)=ie^{iz}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f3f9fb4780130d59538cea4024b842e6b7fc87)
אינטגרל:
![{\displaystyle \int \operatorname {cis} (z)\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} (z)=-ie^{iz}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a03168e084821f1b95724db076e3a66fd2991b2)
תכונות נוספות:
הזהויות הבאות נובעות ישירות מנוסחת אוילר:
![{\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} (x)\,\operatorname {cis} (y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9069534d980e877e0d678ce358c9b0734928a5)
![{\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} (x) \over \operatorname {cis} (y)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8e23d43a6a189fbde9e66d1e7cf30dbca9fc65)
זהויות אלה מתקיימות כאשר x ו-y הם מספרים מרוכבים. כאשר x ו-y הם מספרים ממשיים, מתקיים גם:
![{\displaystyle |\operatorname {cis} (x)-\operatorname {cis} (y)|\leq |x-y|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21167256551216ad4f5bde7cb75fb6c45bf80a0)
מספרים מרוכבים
את המספר המרוכב
ניתן להציג בהצגה קוטבית כ-
, כאשר
הוא המרחק של הנקודה
מראשית הצירים, והזווית
, שבין הישר המחבר את הנקודה
לראשית הצירים ובין ציר ה-
, ניתנת בנוסחה
.
פעולות כפל וחילוק של מספרים מרוכבים נעשות פשוטות יותר בהצגה פולרית. בהתבסס על הזהויות הטריגונומטריות
![{\displaystyle \cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66da7cb9b7ed357a1af552e1e902b9919ca1f41)
![{\displaystyle \sin(a+b)=\cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370ffe52e5bd0c12973945362653f367bd3ff684)
כאשר נתונים המספרים המרוכבים
,
מתקיים
![{\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\operatorname {cis} (\varphi _{1}+\varphi _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4ca268c23cce3f3ffadf6f49b3e856e8b68693)
![{\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\operatorname {cis} (\varphi _{1}-\varphi _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbbabb2d9358c4620d0da72d3251dc1b0eef4084)
ראו גם
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
- ^ ,William Rowan Hamilton Elements of Quaternions, Longmans, Green & Co., 1866, p. 251
- ^ v?CIS, Developer Reference for Intel® Math Kernel Library - C
31731667Cis